Rumus Cepat I Menghitung Luas Daerah Kurva dengan Integral

martha yunanda integral

Pada postingan sebelumnya telah dijelaskan bagaimana cara menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan menggunakan perhitungan integral. Pahamkan diri anda untuk hal tersebut sebelum menggunakan rumus cepat ini. Anda bisa baca pada halaman Cara Menghitung Luas Daerah dengan Integral.

Penggunaan rumus cepat ini tidak berlaku umum. Ada syarat dan ketentuan yang berlaku sehingga kondisi tersebut bisa digunakan rumus ini.

Luas Daerah di Bawah Kurva dengan Diskriminan

Jika anda memiliki fungsi kuadrat $ax^2 + bx + c = 0 \,$ maka Diskriminan (D) bisa dinyatakan dengan  $D = b^2 - 4ac$.

Rumus Luas daerah dibatasi kurva dengan diskriminan ini sebagai berikut,

 $\,Luas = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

Syarat dan ketentuan penggunaan rumus ini apabila daerah tersebut hanya di batasi oleh dua fungsi. Fungsi-nya pun harus maksimal berpangkat 2. Langkah penggunaannya, Misalkan f(x) dan g(x) adalah fungsi yang membatasi daerah:

1. Bentuk  fungsi f(x)=g(x) jadikan f(x)-g(x)=0
2. Anda akan mendapatkan persamaan kuadrat identifikasi a,b,c dan hitung diskriminan
3. Silakan gunakan rumus di atas.

Contoh Gambar fungsi yang memenuhi untuk digunakan rumus ini,

Pembuktian Rumus

1. Misalkan fungsi persamaan  $y = a_1x^2 + b_1x + c_1 \,$ dan  $y = a_2x^2 + b_2x + c_2$

Akan dicari titik potong dengan cara

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ a_1x^2 + b_1x + c_1 & = a_2x^2 + b_2x + c_2 \\ (a_1-a_2)x^2 + (b_1-b_2)x + (c_1-c_2) & = 0 \end{align}$

Asumsikan $a = a_1 - a_2, b = b_1 - b_2, c= c_1 - c_2$.

Didapat persamaan $ax^2 + bx + c = 0 \,$ dengan akar-akar $x_1 \,$ dan $x_2 \,$ yang mana adalah titik potong kedua kurva persamaan. Untuk salah satu persamaan garis, artinya $a_2=0$

2. Sesuai sifat Operasi akar-akar persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0 \,$ bila akarnya $x_1 \,$ dan $x_2$

$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}, \, x_1 . x_2 = \frac{c}{a} , \, x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a}$

$x_2^2 - x_1^2 = (x_2-x_1)(x_2+x_1) = \frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}$

$x_2^3 - x_1^3 = (x_2-x_1)^3 + 3x_1x_2(x_2-x_1) = (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a}$

3. Dengan Cara Menghitung Luas daerah dengan Integral biasa dilakukan penjabaran sebagai berikut,

$\begin{align} \text{Luas } & = \int \limits_{x_1}^{x_2} y_1 - y_2 dx \\ & = \int \limits_{x_1}^{x_2} (ax^2 + bx + c) dx \\ & = [\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx]_{x_1}^{x_2} \\ & = [\frac{a}{3}x_2^3 + \frac{b}{2}x_2^2 + cx_2] - [\frac{a}{3}x_1^3 + \frac{b}{2}x_1^2 + cx_1] \\ & = \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3) + \frac{b}{2}(x_2^2 - x_1^2) + c(x_2 - x_1) \\ & = \frac{a}{3}[ (\frac{\sqrt{D}}{a})^3 + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{a}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a^2} + 3.\frac{c}{a} \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{1}{3}[ \frac{\sqrt{D}}{a}. \frac{D}{a} + 3c \frac{\sqrt{D}}{a} ] + \frac{b}{2}[\frac{\sqrt{D}}{a} . \frac{(-b)}{a}] + c(\frac{\sqrt{D}}{a}) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D}{a} + 3c ] + \frac{b}{2}[ \frac{(-b)}{a}] + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{1}{3}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{b^2}{2a} + c \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2}{6}[ \frac{D+3ac}{a} ] - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D+6ac}{6a} - \frac{3b^2}{6a} + \frac{6c}{6} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3b^2 + 12ac}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(b^2 - 4ac)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{2D - 3(D)}{6a} \right) \\ & = \frac{\sqrt{D}}{a} \left( \frac{-D}{6a} \right) \\ & = \frac{-D\sqrt{D}}{6a^2} \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \end{align}$

Terbukti bahwasanya $\, Luas = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

Contoh Soal dan Pembahasan Luas dengan Rumus Diskriminan

Berikut contoh Soal dan pembahasan cara cepat menghitung luas daerah dengan integral

Soal 1. Hitung luas daerah yang di batasi oleh fungsi persamaan $y = x^2 - 2x \,$ dan $y = 6x - x^2$ ?

Pembahasan:

Bentuk persamaan dan menghitung nilai diskriminan:

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ a = 2, \, b = -8, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (-8)^2 - 4 . 2 . 0 \\ & = 64 \end{align}$

Gunakan Rumus luas:

$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{64 \sqrt{64}}{6. 2^2} = \frac{64 .  8}{24 } = \frac{64}{3} = 21\frac{1}{3} \end{align}$

Soal 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 + 3x + 5 \,$ dan $y = -4x - 1$ ?

Pembahasan:

Bentuk persamaan dan menghitung nilai diskriminan:

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, b = 7, \, c & = 6 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (7)^2 - 4 . 1 . 6 \\ & = 25 \end{align}$

Gunakan rumus luas:

$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2} = \frac{25 \sqrt{25}}{6. 1^2} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6} \end{align}$

Untuk Cara Kedua yang lebih cepat silakan baca : Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Antara 2 Kurva

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn