Pembuktian Rumus Turunan Tan X

martha yunanda geometri, turunan

Anda yang sampai pada halaman ini pasti adalah orang jenius yang ingin tahu kenapa turunan tan x adalah sec² x? Darimana datangnya rumus turunan tan x=sec ²x (asumsi turunan terhadap x).

Turunan secara pendekatan limit bisa ditulis, $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$

Disini juga akan digunakan beberapa rumus trigonometri yaitu,
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
cos (A+B) = cos A cos B-sin A sin B

Identitas trigonometri $$ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 \\ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \\ \sec A = \frac{1}{\cos A } $$
Mari kita mulai membuktikan turunan tan adalah,
$$ \text {misal } f(x) = \tan x \\ \text {sesuai identitas} \\ f(x) = \frac{\sin x}{\cos x} \\ \text {maka } \\ f(x+h) = \frac{\sin (x+h)}{\cos (x+h)} \\ f(x+h) = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} $$
Silahkan pahami sejenak peneggunaan identitas trigonometri di atas. Jika sudah tidak lagi berkerut kening Anda, kita lanjutkan.
$$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{\sin x}{\cos x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) - \sin x( \cos x \cos h - \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin x \cos h + \cos ^2 x \sin h - \cos x \sin x \cos h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } $$

$$ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos ^2 x \sin h + \sin ^2 x \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos ^2 x + \sin ^2 x ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( 1 ) \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } $$
$$ = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x \displaystyle \lim_{h \to 0 } (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x 1 - \sin x .0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x - 0 ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x . (\cos x ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ 1 }{ \cos x } \\ = \sec x . \sec x \\ = \sec ^2 x $$
Itulah mengapa turunan dari tan x =sec ²x. Baca juga pembuktian rumus turunan lain:

1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn