Pembuktian Turunan Sin X = Cos X

Mungkin ada yang bertanya Kenapa turunan sin x = cos x, darimana datangnya rumus turunan sin x? Berikut saya akan berikan penurunan rumus turunan sin x itu dari mana. Dalam menyelesaikan pembuktian rumus turunan sinus ini akan digunakan defenisi dasar turunan dari limit. Kita ketahui bahwasanya,

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada}$
Kita telah mengenal bahwasanya turunan dari sin x adalah cos x. (asumsi diturunkan terhadap x). Sekarang kita akan tulis pembuktian turunan sin x tersebut.

Ingat kembali penjumlahan sudut trigonometri yaitu, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
Artinya jika f(x) = sin x ,
maka f(x+h) = sin (x+h)
f(x+h) = sin x cos h + cos x sin h.

Sekarang juga ingat rumus:

$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A \\ \text {jika 2A=h, maka} \\ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1= - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h$
Sekarang mari kita mulai mengunakan teorema limit untuk turunan tersebut.

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) - \sin x }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) - \cos x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h}$

$= \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ = 0 + \cos x \\ = \cos x$

Sekarang terbukti bukan, atau jika ada yang bertanya kenapa turunan sin x itu cos x. Anda bisa beritahu halaman ini pada golongan orang yang bertanya seperti demikian. Baca juga pembuktian rumus turunan lain: