Pembuktian Turunan Sin X = Cos X

martha yunanda trigonometri, turunan

Mungkin ada yang bertanya Kenapa turunan sin x = cos x, darimana datangnya rumus turunan sin x? Berikut saya akan berikan penurunan rumus turunan sin x itu dari mana. Dalam menyelesaikan pembuktian rumus turunan sinus ini akan digunakan defenisi dasar turunan dari limit. Kita ketahui bahwasanya, $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$
Kita telah mengenal bahwasanya turunan dari sin x adalah cos x. (asumsi diturunkan terhadap x). Sekarang kita akan tulis pembuktian turunan sin x tersebut.

Ingat kembali penjumlahan sudut trigonometri yaitu, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
Artinya jika f(x) = sin x ,
maka f(x+h) = sin (x+h)
f(x+h) = sin x cos h + cos x sin h.

Sekarang juga ingat rumus: $$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A \\ \text {jika 2A=h, maka} \\ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1= - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $$
Sekarang mari kita mulai mengunakan teorema limit untuk turunan tersebut.
$$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \cos x \sin h ) - \sin x }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\sin x \cos h + \sin x ) - \cos x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) + \cos x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x ( \cos h - 1 ) }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x \sin h }{h} $$

 $$= \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) + \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) + \cos x . 1 \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) + \cos x \\ = \sin x . \frac{1}{2}. (0 ) + \cos x \\ = 0 + \cos x \\ = \cos x $$

Sekarang terbukti bukan, atau jika ada yang bertanya kenapa turunan sin x itu cos x. Anda bisa beritahu halaman ini pada golongan orang yang bertanya seperti demikian. Baca juga pembuktian rumus turunan lain:

1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn