Pembuktian Rumus Turunan Cos X= -Sin X

Sebelumnya telah dijelaskan darimana datangnya rumus turunan sin x adalah cos x. Masih dalam kasus yang sama, menjawab pertanyaan kenapa turunan cos x itu -sin x atau darimana datangnya rumus turunan cos x sama dengan –sinx? Disini akan saya berikan pembuktian dan asal rumus turunan dari cos x.

Adapun rumus yang harus anda ingat untuk pembuktian ini adalah:
Rumus Defenisi turunan dari Limit ,

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada}$
Rumus Trigonometri Jumlah Sudut

$\cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A$
Mari kita mulai membuktikaan:

$f(x)= cos x \\ f(x+h) =cos (x+h) \\ f(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$
Lalu

$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A \\ \text {jika 2A=h, maka} \\ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1= - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h$
Berikutnya gunakan rumus turunan berdasarkan limit. Kita bisa tulis,

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) - \cos x }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \cos x ) - \sin x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) - \sin x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h}$

$= \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) - \sin x . 1 \\ = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) - \sin x \\ = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) - \sin x \\ = 0 - \sin x \\ = -\sin x$
Sekarang anda telah tahu mengapa turunan cos x itu adalah –sin x. Baca juga pembuktian rumus turunan lain: