Pembuktian Rumus Turunan Cos X= -Sin X

martha yunanda trigonometri, turunan

Sebelumnya telah dijelaskan darimana datangnya rumus turunan sin x adalah cos x. Masih dalam kasus yang sama, menjawab pertanyaan kenapa turunan cos x itu -sin x atau darimana datangnya rumus turunan cos x sama dengan –sinx? Disini akan saya berikan pembuktian dan asal rumus turunan dari cos x.

Adapun rumus yang harus anda ingat untuk pembuktian ini adalah:
Rumus Defenisi turunan dari Limit , $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$
Rumus Trigonometri Jumlah Sudut $$ \cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $$
Mari kita mulai membuktikaan:
$$ f(x)= cos x \\ f(x+h) =cos (x+h) \\ f(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h$$
Lalu $$ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A \\ \text {jika 2A=h, maka} \\ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1= - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h $$
Berikutnya gunakan rumus turunan berdasarkan limit. Kita bisa tulis,
$$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) - \cos x }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ (\cos x \cos h - \cos x ) - \sin x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) - \sin x \sin h }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x ( \cos h - 1 ) }{h} - \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin x \sin h }{h} \\ = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ ( \cos h - 1 ) }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} $$

$$ = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \cos x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} . (- 2\sin \frac{1}{2} h ) - \sin x . \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \\ = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin \frac{1}{2} 0 ) - \sin x . 1 \\ = \cos x . \frac{1}{2}. (- 2\sin 0 ) - \sin x \\ = \cos x . \frac{1}{2}. (0 ) - \sin x \\ = 0 - \sin x \\ = -\sin x $$
Sekarang anda telah tahu mengapa turunan cos x itu adalah –sin x. Baca juga pembuktian rumus turunan lain:

1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn