Pembuktian Rumus Turunan Cotan X

Anda yang sampai pada halaman ini pasti adalah orang jenius yang ingin tahu kenapa turunan cotan x adalah -cosec²X Darimana datangnya rumus turunan cotan x= -cosec² x (asumsi turunan terhadap x).

Turunan secara pendekatan limit bisa ditulis,

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada}$
Disini juga akan digunakan beberapa rumus trigonometri yaitu,
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
cos (A+B) = cos A cos B-sin A sin B
Identitas trigonometri

$\cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 \\ cotan A = \frac{\cos A}{\sin A} \\ \sec A = \frac{1}{\cos A }$
Mari kita mulai membuktikan turunan cotan adalah,

$\text {misal } f(x) = cotan x \\ \text {sesuai identitas} \\ f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \\ \text {maka } \\ f(x+h) = \frac{\cos (x+h)}{\sin (x+h)} \\ f(x+h) = \frac {\cos x \cos h - \sin x \sin h} {\sin x \cos h + \cos x \sin h}$
Tarik napas lalu keluarkan perlahan dan…

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x (\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x (\sin x \cos h + \cos x \sin h) }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h}$

$= \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( \sin ^2 x + \cos ^2 x ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( 1 ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\$

$= \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ = 1. \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0) } \\ = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x .1 + \cos x .0) } \\ = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x ) } \\ = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ = - \csc x . \csc x \\ = - \csc ^2 x$

Sudah menemukan jawaban bukan, alasan kenapa turunan cotan adalah -cosec²x ? Baca juga pembuktian rumus turunan lain: