Pembuktian Rumus Turunan Cotan X

martha yunanda trigonometri, turunan

Anda yang sampai pada halaman ini pasti adalah orang jenius yang ingin tahu kenapa turunan cotan x adalah -cosec²X Darimana datangnya rumus turunan cotan x= -cosec² x (asumsi turunan terhadap x).

Turunan secara pendekatan limit bisa ditulis, $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$
Disini juga akan digunakan beberapa rumus trigonometri yaitu,
sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
cos (A+B) = cos A cos B-sin A sin B
Identitas trigonometri $$ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 \\ cotan A = \frac{\cos A}{\sin A} \\ \sec A = \frac{1}{\cos A } $$
Mari kita mulai membuktikan turunan cotan adalah,
$$ \text {misal } f(x) = cotan x \\ \text {sesuai identitas} \\ f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \\ \text {maka } \\ f(x+h) = \frac{\cos (x+h)}{\sin (x+h)} \\ f(x+h) = \frac {\cos x \cos h - \sin x \sin h} {\sin x \cos h + \cos x \sin h}$$
Tarik napas lalu keluarkan perlahan dan…
$$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x (\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x (\sin x \cos h + \cos x \sin h) }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h}$$ 

$$ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( \sin ^2 x + \cos ^2 x ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( 1 ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ $$
$$= \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ = 1. \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0) } \\ = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x .1 + \cos x .0) } \\ = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x ) } \\ = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ = - \csc x . \csc x \\ = - \csc ^2 x $$

Sudah menemukan jawaban bukan, alasan kenapa turunan cotan adalah -cosec²x ? Baca juga pembuktian rumus turunan lain:

1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn