Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Aljabar

martha yunanda turunan

Sebelum memahami contoh soal dan pembahasan mengenai turunan aljabar ini. Sangat disarankan anda membaca materi dasar dan rumus rumus turunan aljabar.

Soal 1. Tentukanlah turunan :
a). $ y = 3 $
b). $ y = \frac{5}{x^2} $
c). $ y = 3\sqrt{x} $

Pembahasan :
a). Turunan konstanta adalah nol.
$ y = 3 \rightarrow y^\prime = 0 $
b)n=5
$ y = x^5 \rightarrow y^\prime = n.x^{n-1} = 5.x^{5-1} = 5x^4 $
d). Gunakan rumus dasar ii, dan sifat eksponen,
$ y = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow y^\prime = n.a.x^{n-1} = \frac{1}{2}. 3. x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{3}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $

Soal 2. Turunan pertama dari fungsi dibawah ini adalah…
a). $ f(x) = 3x^2 - 2x $
b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 $
c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 $

Pembahasan :
Untuk penjumlahan, kita cukup menurunkan masing-masing suku.
a). $$ f(x) = 3x^2 - 2x \text {Misal : } \\ U = 3x^2 \rightarrow U^\prime = 2.3.x^{2-1} = 6x \\ V = 2x= 2x = 2x^1 \rightarrow V^\prime = 1.2.x^{1-1} = 2 . x^0 = 2.1 = 2 \\ f(x) = U- V \rightarrow f^\prime (x) = U^\prime - V^\prime = 6x - 2 $$

b). $ f(x) = 2\sqrt{x} + 5x^3 - 7 = 2x^\frac{1}{2} + 5x^3 - 7 $
$ f^\prime (x) = \frac{1}{2} . 2 . x^{\frac{1}{2} - 1 } + 3.5.x^{3-1} - 0 = x^{-\frac{1}{2}} + 15x^2 = \frac{1}{\sqrt{x} } + 15x^2 $

c). $ f(x) = x^5 + 2x^3 - 3x + 1 \rightarrow f^\prime (x) = 5.x^{5-1} + 3.2.x{3-1} - 3 + 0 = 5x^4 + 6x^2 - 3 $

Soal 3. Tentukanlah Turunan dari $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $ 

Pembahasan :
Gunakan rumus perkalian u.v pada turunan.
a). $ y = (x^2-1)(2x^3 + x) $
Misalkan :
$ U = (x^2-1) \rightarrow U^\prime = 2x - 0 = 2x $
$ V = (2x^3 + x) \rightarrow V^\prime = 6x^2 + 1 $
Dan turunannya turunannya :
$ y = UV \\ y^\prime = U^\prime . V + U. V^\prime \\ = 2x. (2x^3 + x) + (x^2-1).( 6x^2 + 1) \\ = 4x^4 + 2x^2 + ( 6x^4 + x^2 - 6x^2 - 1 ) \\ = 10x^4 - 3x^2 - 1 $ 

Soal 4. Tentukan turunan fungsi $ y = \frac{x^2 + 2}{3x - 5} $ ? 

Pembahasan :
Disini digunakan rumus turunan $ \frac {u}{v}$
$ U = x^2 + 2 \rightarrow U^\prime = 2x + 0 = 2x $
$ V = 3x - 5 \rightarrow V^\prime = 3 - 0 = 3 $
Sehingga turunannya :
$ y = \frac{U}{V} \\ y^\prime = \frac{U^\prime . V - U. V^\prime}{V^2} \\ = \frac{2x . (3x - 5) - (x^2 + 2). 3}{(3x - 5)^2} \\ = \frac{6x^2 - 10x - 3x^2 - 6}{9x^2 -30x + 25} \\ = \frac{3x^2 - 10x - 6}{9x^2 -30x + 25} $

Soal 5. Tentukanlah turunan pertama dari $ y = (2x^2 - 3x + 8)^{10} $ ?

Pembahasan :
Gunakan rumus turunan rantai.
Misal:
$ g(x) = 2x^2 - 3x + 8 \rightarrow g^\prime (x) = 4x - 3 $
Sehingga turunannya :
$ y = [g(x)]^n = (2x^2 - 3x + 8)^{10} \\ y^\prime = n.[g(x)]^{n-1} . g^\prime (x) \\ = 10.(2x^2 - 3x + 8)^{10-1} . (4x - 3) \\ = 10.(4x - 3) . (2x^2 - 3x + 8)^{10-1} \\ = (40x - 30) (2x^2 - 3x + 8)^9 $

Soal 6. Jika Diketahui $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 \, , $ tentukan nilai $ f^\prime (3) $ ? 

Pembahasan :
Pergunakan rumus dasar vii (lihat pada rumus dasar turunan)
Misal : $ g(x) = 2x - 1 \rightarrow g^\prime (x) = 2 - 0 = 2 $
dan :
$ y = f[g(x)] \rightarrow y^\prime = f^\prime [g(x)] . g^\prime (x) $
$ y = f[2x-1] \rightarrow y^\prime = f^\prime [ 2x-1] . 2 $
$ y = f(2x-1) \rightarrow y^\prime = 2f^\prime [ 2x-1] $
Ke-2 ruas fungsi diturunkan $ f(2x - 1) = 3x^2 + 2x + 5 $
$ \begin{align} f(2x - 1) & = 3x^2 + 2x + 5 \, \, \, \, \, \text{(turunkan kedua ruas)} \\ 2f^\prime (2x - 1) & = 6x + 2 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \end{align} $
Supaya didapat nilai $ f^\prime (3) \, $ maka $ f^\prime (2x - 1) = f^\prime (3) \, $
bisa dibilang $ 2x-1 = 3 \rightarrow 2x = 4 \rightarrow x = 2 $
Nilai x yang harus dimasukkan pada persamaan adalah $ x = 2 \, $ Sehingga, $ \begin{align} x = 2 \rightarrow f^\prime (2x - 1) & = 3x + 1 \\ f^\prime (2.2 - 1) & = 3.2 + 1 \\ f^\prime (4 - 1) & = 6 + 1 \\ f^\prime (3) & = 7 \end{align} $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn