Defenisi dan Contoh Soal Turunan Rantai

martha yunanda turunan

Defenisi sederhana dari turunan rantai adalah sebagai berikut,
Jika ada fungsi f(x) = g(h(x)) maka turunan dari f’(x) = g’(h(x)).h’(x). Pengunaan turunan rantai ini adalah menyelesaikan fungsi ‘yang berlipat’. Mungkin kita bisa menyatakannya dalam istilah fungsi komposisi.

Agar lebih jelas mengenai turunan rantai ini, Anda bisa perhatikan contoh soal dan pembahasan mengenai turunan rantai di bawah ini,

Soal 1. Tentukan turunan dari $f(x) = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \, $ dan nilai f’ (1).

Pembahasan:
Dari soal yang diberikan kita bisa misalkan $$ g(h(x)) =(x^3 - 2x + 2)^{2015} \\ h(x) = x^3-2x+2$$ Kemudian kita turunkan g(h(x)). Turunkan saja pangkat , kemudian pangkat berkurang satu. dari fungsi tersebut. Sehingga kita dapatkan $g ^\prime (h(x)) = 2015. (x^3 - 2x + 2)^{2014}$.

Selanjutnya kita cari turunan $h(x)=(x^3 - 2x + 2)$ kita akan dapatkan $h’(x) =3x^2-2$. Terakhir kita susun sesuai rumus turunan rantai, $$ f(x) = (x^3 - 2x + 2)^{2015} \\ f’(x) = g’(h(x)).h’(x) \\ f’(x) = 2015. (x^3 - 2x + 2)^{2014}.(3x^2-2)$$ Anda telah menemukan hasil turunan dari f(x).

Sementara untuk mencari f’(1). Kita tinggal subtitusikan saja x=1, sehingga bisa kita tulis, $$ f’(x) = 2015. (x^3 - 2x + 2)^{2014}.(3x^2-2) \\ f’(1) = 2015. (1^3 – 2.1 + 2)^{2014}.(3.1^2-2) \\ f’(1) =2015.1^{2014}.1 \\ f’(x)=1$$

Soal 2. Diketahui $$ f(3) = -2 \\ f^\prime (3) = 1 \\ g(2x-3) = 2x^2.f(x^2-1) \\ \text {hitunglah} g^\prime (1) $$

Pembahasan:
Untuk menyelesaikan ini kita akan turunkan ke-dua ruas.
Turunan ruas Kiri sesuai turunan rantai,$$ (g(2x-3) )= 2g^\prime (2x-3) $$

Turunkan Ruas Kanan, $$ y = 2x^2 . f(x^2 - 1) \\ \text {gunakan rumus turunan u.v} \\ U = 2x^2 \rightarrow U^\prime = 4x \\ V = f(x^2 - 1) \rightarrow V^\prime = f^\prime (x^2 -1) . 2x = 2xf^\prime (x^2 -1 ) $$
Sehingga turunan ruas kanan : $$ y = U.V \\ y^\prime = U^\prime.V + U.V^\prime \\ y^\prime= 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) $$

Kembali satukan ke-dua ruas tersebut,
$ 2g^\prime (2x-3) = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 )$
Perhatikan pertanyaan soal, yang ditanyakan adalah g(1). Maka kita bikin persamaan yang melibatkan fungsi dalam g’ – yaitu 2x-3 =1. X=2. Artinya kita akan subtitusikan x=2 pada persamaan. $$2g^ \prime (2x-3) = 4x.f(x^2 -1) + 2x^2. 2xf^\prime (x^2 -1 ) \\ 2g^\prime (2.2-3) = 4.2.f(2^2 -1) + 2.2^2. 2.2.f^\prime (2^2 -1 ) \\ 2.g^ \prime (1) = 8.f(3)+32.f ^ \prime(3) \\ 2.g^ \prime (1) = 8.(-2) + 32. 1 \\ 2g^ \prime (1) = -16 + 32 \\ 2g^ \prime (1) = 16 \\ g^ \prime (1) = \frac{16}{2} = 8 $$

Soal 3. Diketahui f(x) = (g(g(g(g(g(g(x))))))) . Jika g(1) =1, g’(1)=2. Maka tentukan nilai f’(1)!

Pembahasan:
f(x) = (g(g(g(g(g(g(x)))))))
f'(x) = (g(g(g(g(g(g(x)))))))’.(g(g(g(g(g(x))))))’. (g(g(g(g((x)))))’. (g(g(g((x))))’. (g(g((x))))’.g(x)’
Sekarang untuk menganti nilai x=1

1. (g(g(g(g(g(x))))))’=(g(g(g(g(g(1))))))’ =(g(g(g(g(1))))) = (g(g(g(1))))’= g(g(1)))’= g(1) = 2
2. (g(g(g(g(g(x))))))’ =(g(g(g(g(g(1))))))’ =(g(g(g(g(1))))) = (g(g(g(1))))’= g(g(1)))’= g(1) = 2
3. (g(g(g(g(x)))))=(g(g(g(g(1))))) = (g(g(g(1))))’= g(g(1)))’= g(1) = 2
4. (g(g(g(x))))’ =(g(g(g(1))))’= g(g(1)))’= g(1) = 2
5. g(g(x)))’=g(g(1)))’= g(1) = 2
6. g(x)’= g(1) = 2

Jadi f’(x) =2.2.2.2.2.2=64.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn