Pembuktian Turunan sec X = sec X tan X

Pada halaman ini akan diberikan alasan kenapa turunan sec X = sec x.tan x. (asumsi turunan terhadap x). Atau Darimana datangnya turunan sec x? Yang pasti ini tidak dari mata turun ke hati.

Penurunan rumus turunan ini menggunakan aplikasi limit. Rumus yang dimaksud adalah,

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada}$
Selain itu Anda juga harus ingat beberapa rumus trigonometri,

$\cos (A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \\ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \\ \sec x A = \frac{1}{\cos A }$
Misalkan f(x) = sec x, maka f(x+h) = sec (x+h).
Lalu

$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A \\ \text {jika 2A=h, maka} \\ \cos h = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1 = - 2\sin ^2 \frac{1}{2} h \\ \cos h - 1= - 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h$
Sekarang bersiaplah, kita akan mulai mengasah otak dengan pembuktian turunan sec x berikut.

$f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{1}{\cos x \cos h - \sin x \sin h} - \frac{1}{\cos x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - ( \cos x \cos h - \sin x \sin h ) }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x - \cos x \cos h + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x ( 1 - \cos h ) + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h}$

$= \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h + \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h . \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \frac{ \sin x \sin h }{h} }{\cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) }$

$= \frac{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x . 2\sin \frac{1}{2} h \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin \frac{1}{2} h }{h} + \displaystyle \lim_{h \to 0 } \sin x \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} }{ \displaystyle \lim_{h \to 0 } \cos x (\cos x \cos h - \sin x \sin h ) } \\ = \frac{ \cos x . 2 (\sin \frac{1}{2} .0 ) . \frac{1}{2} + \sin x . 1 }{ \cos x (\cos x \cos 0 - \sin x \sin 0 ) } \\ = \frac{ \cos x . 2 (\sin 0 ) . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x (\cos x . 1 - \sin x . 0 ) } \\ = \frac{ \cos x . 2 ( 0 ) . \frac{1}{2} + \sin x }{ \cos x (\cos x - 0 ) } \\ = \frac{ 0 + \sin x }{ \cos x (\cos x ) } \\ = \frac{ 1 }{ \cos x } . \frac{ \sin x }{ \cos x } \\ = \sec x \tan x$
Baca juga pembuktian rumus turunan lain: