Aturan Integral Parsial Tanjalin

martha yunanda integral

Integral Parsial Tanjalin merupakan bentuk penyederhanaan penulisan integral parsial biasa agar lebih efektif sehingga lebih mudah untuk diselesaikan. Langkah Penyelesaian Soal Integral dengan aturan Integral Parsial Tanjalin ini sebagai berikut,

Fungsi dibagi menjadi dua bagian. Misalkan fungsi pertama f(x) dan fungsi kedua g(x) . Fungsi pertama dipilih dimana fungsi yang berkemungkinan diturunkan akan jadi nol dan fungsi ke dua sisanya.
Bagi menjadi dua kolom. Kolom pertama f(x) dan kolom kedua g(x). Turunkan f(x) hingga nol. Kemudian integralkan g(x) hingga sebanyak berapa kali menurunkan f tadi. Beri tanda selang seling + dan - pada mulai dari baris pertama.
Hasil integral adalah hasil perkalian 'secara diagonal ke bawah'.

Lebih mudah perhatikan skema aturan integral parsial tanjalin berikut,

Kolom kiri adalah f(x) yang saya turunkan hingga 0. Dan kolom kanan hasil integral g(x) sebanyak berapa kali saya turunkan. Perhatikan tanda di sebelah f(x). Mulai dari positif pada baris pertama. Kemudian garis merah merupakan skema perkalian 'diagonal' yang saya maksud. Sehingga hasil akhirnya akan jadi:

$\begin{align} \int f(x) . g(x) dx & = +f(x) \times g_1(x) + (- f^\prime (x)) \times g_2 (x) + \\ & (+f^{\prime \prime } (x)) \times g_3 (x) +(- f^{\prime \prime \prime }) \times g_4(x) + c \\ \int f(x) . g(x) dx & = f(x) g_1(x) - f^\prime (x) g_2 (x) + \\ & f^{\prime \prime } (x) g_3 (x) - f^{\prime \prime \prime } g_4(x) + c \end{align}$

Akan lebih mudah jika anda perhatikan contoh soal dan pembahasan integral parsial tanjalin di bawah ini.

Soal 1:

$\int x^2 \cos 2x dx$

$\begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, x^2 \, \, \, & | \, \, \, \cos 2x \\ (-) \, \, 2x \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2} \sin 2x \\ (+) \, \, 2 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{2}. (-\frac{1}{2} \cos 2x ) = - \frac{1}{4} \cos 2x \\ (-) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\frac{1}{4} . \frac{1}{2} \sin 2x = -\frac{1}{8} \sin 2x \end{align}$

Kalikan secara diagonal dan hasilnya

$\begin{align} \int x^2 \cos 2x dx & = (+x^2) \times \frac{1}{2} \sin 2x + (-2x) \times - \frac{1}{4} \cos 2x + (+2) \times -\frac{1}{8} \sin 2x + c \\ & = \frac{1}{2} x^2 \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x -\frac{1}{4} \sin 2x + c \\ & = ( \frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{4} ) \sin 2x + \frac{1}{2} x \cos 2x + c \end{align}$

Soal 2: Hasil dari integral

$\int 2x^3 \cos x dx$ ?

Pembahasan :

Skema Aturan Tanjalin :

$\begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 2x^3 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 6x^2 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 12x \, \, \, & | \, \, \, -\cos x \\ (-) \, \, 12 \, \, \, & | \, \, \, - \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \cos x \end{align}$

Perkalian dan hasil akan diperoleh

$\begin{align} \int 2x^3 \cos x dx & = (+2x^3) \times \sin x + (-6x^2) \times (-\cos x) + (+12x) \times (- \sin x) \\ & \, \, \, \, \, + (-12) \times \cos x + c \\ & = 2x^3 \sin x + 6x^2 \cos x - 12x \sin x -12 \cos x + c \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = ( 2x^3 - 12x) \sin x + (6x^2 -12) \cos x + c \end{align}$

Soal 3:

$\int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx$

Pembahasan:

Gunakan Rumus Perkalian trigonometri :

$2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B)$ ,

Fungsi dan Soal anda akan jadi

$6x \cos (3x) \cos (2x) = 3x . 2\cos (3x) \cos (2x) = 3x (\cos 5x + \cos x ) = 3x \cos 5x + 3x \cos x$ .

$\int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx = \int 3x \cos 5x + 3x \cos x dx = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx$

Sesuai Aturan Tanjalin:

Bentuk I :

$\int 3x \cos 5x dx$

$\begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos 5x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} \sin 5x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, \frac{1}{5} . -\frac{1}{5} \cos 5x = - \frac{1}{25} \cos 5x \end{align}$

Perkalian secara diagonal

$\begin{align} \int 3x \cos 5x dx & = (+3x ) \times (\frac{1}{5} \sin 5x) + (-3) \times (- \frac{1}{25} \cos 5x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + c \end{align}$

Bentuk II:

$\int 3x \cos x dx$

$\begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, 3x \, \, \, & | \, \, \, \cos x \\ (-) \, \, 3 \, \, \, & | \, \, \, \sin x \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, - \cos x \end{align}$

Perkalian secara diagonal

$\begin{align} \int 3x \cos x dx & = (+3x ) \times ( \sin x) + (-3) \times (- \cos x ) + c \\ & = 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align}$

Maka hasil akhir yang anda peroleh

$\begin{align} \int 6x \cos (3x) \cos (2x) dx & = \int 3x \cos 5x dx + \int 3x \cos x dx \\ & = (\frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x ) + (3 x \sin x + 3 \cos x ) + c \\ & = \frac{3}{5} x \sin 5x + \frac{3}{25} \cos 5x + 3 x \sin x + 3 \cos x + c \end{align}$

Soal 4: Hasil dari

$\int 2x^3 \cos x^2 dx$

Penyelesaian :

Bentuk soal seperti ini agak sedikit rumit, karena tak bisa langsung dimisalkan

$g(x)=\cos x^2 \,$ Sebab ketika diintegralkan bentuk ini tidak bisa langsung diintegralkan secara trigonometri sederhana.

Oleh sebab itu maka misalkan

$u = x^2$ .

Gunakan sentuhan teknik substitusi aljabar :

$u = x^2 \rightarrow u^\prime = 2x$

$\begin{align} \int 2x^3 \cos x^2 dx & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 2x^3 \cos u \frac{du}{2x} \, \, \, \, \, \text{(disederhanakan)} \\ & = \int x^2 \cos u du \, \, \, \, \, \text{(ganti } x^2 = u) \\ & = \int u \cos u du \end{align}$

Lanjutkan dengan tanjalin, sebab untuk cos u anda bisa integralkan secara langsung.

$\int u \cos u du \,$

Skema tanjalin :

$\begin{align} \text{Turunan} \, \, \, & | \, \, \, \text{Integral} \\ (+) \, \, u \, \, \, & | \, \, \, \cos u \\ (-) \, \, 1 \, \, \, & | \, \, \, \sin u \\ (+) \, \, 0 \, \, \, & | \, \, \, -\cos u \end{align}$

Kalikan secara diagonal

$\begin{align} \int u \cos u du & = (+u) \times \sin u + (-1) \times (-\cos u) + c \\ & = u \sin u + \cos u + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk }u) \\ & = x^2 \sin x^2 + \cos x^2 + c \end{align}$

Terakhir anda peroleh: