Langkah dan Cara Menyelesaikan Integral Fungsi Pecah

martha yunanda integral

Salah satu teknik integral yang akan digunakan dalam penyelesaian soal integral adalah integral fungsi pecah atau dikenal juga dengan istilah partial fractions. Dalam teknik ini agak sedikit menguji kreativitas untuk memecah bentuk pecahan menjadi dua bagian.

Cara Memecah Fungsi menjadi Partial Fractions

Semisal anda memiliki fungsi dalam bentuk pecahan, maka fungsi yang berperan sebagai penyebut difaktorkan, lalu dibuat dalam bentuk umum

$\frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2}$

$\frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^2} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2}$

$\frac{1}{(a_1x + b_1)(a_2x + b_2)^3} = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{B}{a_2x + b_2} + \frac{C}{(a_2x + b_2)^2} + \frac{D}{(a_2x + b_2)^3}$

$\frac{1}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3) } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3}$

$\frac{1}{(a_1x + b_1)(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2 } = \frac{A}{a_1x + b_1} + \frac{Bx + C}{a_3x^2+ b_3x + c_3} + \frac{Dx + E}{(a_3x^2+ b_3x + c_3)^2}$ dst

Akan sedikit membingungkan bagi anda jika hanya melihat rumus di atas. Coba anda perhatikan contoh soal fungsi pecah di bawah ini,

Contoh 1:

$\frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8}$

Penyebut difaktorkan:

$x^2 - 2x - 8 = (x+2)(x-4)$ .

Bagi menjadi dua bagian,

$\begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{ x - 3}{(x+2)(x-4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ & = \frac{A(x-4) + B(x+2)}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{Ax - 4A + Bx + 2B}{(x+2)(x-4)} \\ & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{(A+B)x - 4A + 2B}{x^2 - 2x - 8} \\ x - 3 & = (A+B)x - 4A + 2B \end{align}$

Tentukan nilai A dan B dari kesamaan

$x - 3 = (A+B)x - 4A + 2B$ ,

$A + B = 1 \,$ ....pers(i)

$- 4A + 2B = -3 \,$ ....pers(ii)

Gunakan Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :

$\begin{array}{c|c|cc} A + B = 1 & \times 2 & 2A + 2B = 2 & \\ - 4A + 2B = -3 & \times 1 & - 4A + 2B = -3 & - \\ \hline & & 6A = 5 & \\ & & A = \frac{5}{6} & \end{array}$

Pers(i) :

$A + B = 1 \rightarrow \frac{5}{6} + B = 1 \rightarrow B = \frac{1}{6}$

Bentuk fungsi pecah

$\begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{\frac{5}{6} }{x+2} + \frac{\frac{1}{6} }{x-4} \\ \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align}$

Jadi

$\begin{align} \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} & = \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) \end{align}$

Jika anda sudah paham bagaimana pemecahan fungsi di atas, maka kita akan lanjutkan dengan,

Integral Fungsi Pecah

Rumus dasar integral dan sifat logartima natural (ln) yang harus anda kembali ingat,

$\int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c$

$\int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} . \ln (ax+b)+ c$

Juga anda ingat kembali sifat logarima yang diterapkan pada logaritma natural (ln).

$\ln a + \ln b = \ln (a.b)$

$\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$

Kita akan gabungkan pengunaannya dengan fungsi pecah pada bagian awal tadi. Berikut contoh soal dan penyelesaian integral fungsi pecah.

Soal 1:

$\int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx =...$

Langkah 1: Pecah fungsi seperti cara di atas. Dan diperoleh

$\int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx$

Langkah 2 Lanjutkan dengan mengintegralkan,

$\begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \int \frac{1}{6} \left( \frac{5}{x+2} + \frac{1 }{x-4} \right) dx \\ & = \frac{1}{6} \left( \int \frac{5}{x+2} dx + \int \frac{1 }{x-4} dx \right) \\ & = \frac{1}{6} \left( 5 \ln (x+2) + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \left( \ln (x+2)^5 + \ln (x-4) \right) + c \\ & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align}$

Jadi,

$\begin{align} \int \frac{ x - 3}{x^2 - 2x - 8} dx & = \frac{1}{6} \ln [ (x+2)^5 (x-4) ] + c \end{align}$

Soal 2: Hasil dari integral

$\int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx$

Pembahasan;

Faktorkan penyebut

$x^3 - x^2 + 4x - 4 = (x^3 + 4x) - (x^2 + 4) = x(x^2 + 4) - (x^2 + 4) = (x-1)(x^2+4)$

Pecah jadi dua bagian:

$\begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ & = \frac{A(x^2+4) + (Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+4)} \\ & = \frac{Ax^2 + 4A + Bx^2 - Bx + Cx - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{(x-1)(x^2+4)} & = \frac{(A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C }{(x-1)(x^2+4)} \\ x^2 + x + 3 & = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C \end{align}$

Nilai dari A, B dan C dengan menggunakan kesamaan:

$x^2 + x + 3 = (A+B)x^2 + (C- B)x + 4A - C$ ,

$A + B = 1 \rightarrow B = 1 - A \,$ ....pers(i)

$C - B = 1 \,$ ....pers(ii)

$4A - C = 3 \rightarrow C = 4A - 3 \,$ ....pers(iii)

Substitusi pers(i) dan (iii) ke pers(ii)

$\begin{align} C - B & = 1 \\ (4A - 3 ) - (1 - A) & = 1 \\ 5A - 4 & = 1 \\ A & = 1 \end{align}$

Persamaan(i) :

$B = 1 - A = 1 - 1 = 0$

Persamaan(iii) :

$C = 4A - 3 = 4.1 - 3 = 1$

Jadi bentuk fungsi pecah,

$\begin{align} \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{0x+1}{x^2+4} \\ \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } & = \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} \end{align}$

Bagian

$\int \frac{ 1}{x^2+4} dx \,$ , kita menggunakan teknik substitusi trigonometri dan akan didapat hasil

$\int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c$

Integral bagian lain :

$\begin{align} \int \frac{x^2 + x + 3 }{x^3 - x^2 + 4x - 4 } dx & = \int \frac{1}{x-1} + \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \int \frac{1}{x-1} dx + \int \frac{ 1}{x^2+4} dx \\ & = \ln (x-1) + \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align}$

Jadi