Teorema Dasar Kalkulus Integral

martha yunanda integral

Pendekatan nilai integral dengan jumlah Riemann bisa dikatakan cukup susah. Oleh sebab itu, Newton dan Leibniz berhasil menemukan metode yang lebih sederhana. Inilah yang dikenal dengan Teorema Dasar kalkulus atau teorema dasar kalkulus.

Contoh aplikasi penerapan pengunaan teorema dasar kalkulus ini adalah dalam matematika terapan adalah menghitung luas daerah dalam lingkup kurva dan menghitung volume benda putar.

Teorema Dasar Kalkulus

Bunyi teorema fundamental kalkulus I dan II sebagai berikut,

Teorema Dasar Kalkulus 1

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan x sebarang titik dalam interval tersebut maka berlaku,

$ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $

Teorema Dasar Kalkulus 2

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan F  anti-turunan dari f pada interval tersebut maka berlaku:

$ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $

Contoh Soal Teorema Fundamental kalkulus  (Teorema Dasar Kalkulus)

Contoh 1: $ \frac{d}{dx} \int \limits_{-5}^x (\frac{1}{3}t^2 + 1) dt $

$ \frac{d}{dx} \int \limits_{-5}^x (\frac{1}{3}t^2 + 1) dt $

Ini berarti $ f(t) = \frac{1}{3}t^2 + 1 \ $ sehingga $ f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1 $

Jadi $ \frac{d}{dx} \int \limits_{-5}^x (\frac{1}{3}t^2 + 1) dt = \frac{1}{3}x^2 + 1 $

Contoh 2: $ \int \limits_{-2}^1 (x + 5) dx $

$ \begin{align} \int \limits_{-2}^1 (x + 5) dx & = [\frac{1}{1+1}x^{1+1} + 5x ]_{-2}^1 \\ & = [\frac{1}{2}x^2 + 5x ]_{-2}^1 \\ & = [\frac{1}{2}(1)^2 + 5.(1) ] - [\frac{1}{2}(-2)^2 + 5.(-2) ] \\ & = [\frac{1}{2} + 5 ] - [\frac{1}{2}(4) - 10 ] \\ & = [\frac{1}{2} + 5 ] - [2 - 10 ] \\ & = [\frac{1}{2} + 5 ] + 8 \\ & = 13\frac{1}{2} \end{align} $

Jadi $ \, \int \limits_{-2}^1 (x + 5) dx = 13\frac{1}{2} $

Contoh 3. Diketahui fungsi $ f(x) = \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt , \, $ f'(x) adalah turunan pertama dari fungsi  f(x) maka nilai dari  f'(1)=...

Pembahasan:

Turunkan $ f(x) = \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt , \, $ 

berdasarkan teorema fundamental kalkulus I.

$ \begin{align} f(x) & = \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt \, \, \, \, \, \, \text{(diturunkan)} \\ \frac{d}{dx} f(x) & = \frac{d}{dx} \int \limits_{-1}^x ( t^4 + t - 1) dt \\ f^\prime (x) & = x^4 + x - 1 \end{align} $

oleh sebab itu $ f^\prime (1) = 1^4 + 1 - 1 = 1 $

Jadi $ \, f^\prime (1) = 1 $ Baca juga: Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn