Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus II

martha yunanda integral

Pembuktian teorema dasar kalkulus 2 ini akan diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus 1. Oleh sebab itu anda harus benar benar paham teorema dasar/fundamental kalkulus 1 terlebih dahulu.

Teorema Dasar Kalkulus 1

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan x sebarang titik dalam interval tersebut maka berlaku,

$ \frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x) $

Teorema Dasar Kalkulus 2

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan F  anti-turunan dari f pada interval tersebut maka berlaku:

$ \int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $

Sekarang akan dibuktikan teorema dasar kalkulus II,

Misal  g(x)  adalah integral atau antiturunan dari fungsi  f, maka  $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ .
Misalkan juga F(x) adalah antiturunan lain dari fungsi f, F(x) dan g(x)  (antara F(x) dan g(x) berbeda Konstanta, Maka bisa ditulis:
$ F(x) = g(x) + C $
Berdasarkan $ F(x) = g(x) + C \, $ dan $ g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt $ :
$ F(a) = g(a) + C \, $ dan $ \, F(b) = g(b) + C $.
$ g(a) = \int \limits_a^a f(t) dt = 0 \, $ dan $ \, g(b) = \int \limits_a^b f(t) dt $.
Kurangkan $ F(b) \, $ dan $ F(a) $:
$\begin{align} F(b) - F(a) & = (g(b) + C) - (g(a) + C) \\ & = g(b) + C - g(a) - C \\ & = g(b) - g(a) \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt - 0 \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt \end{align} $
Terbukti $ \int \limits_a^b f(t) dt = F(b) - F(a) $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn