Pembuktian Teorema Fundamental Kalkulus II

martha yunanda integral

Pembuktian teorema dasar kalkulus 2 ini akan diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus 1. Oleh sebab itu anda harus benar benar paham teorema dasar/fundamental kalkulus 1 terlebih dahulu.

Teorema Dasar Kalkulus 1

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan x sebarang titik dalam interval tersebut maka berlaku,

$\frac{d}{dx} \int \limits_a^x f(t) dt = f(x)$

Teorema Dasar Kalkulus 2

Jika f kontinu pada interval [a,b] dan F anti-turunan dari f pada interval tersebut maka berlaku:

$\int \limits_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

Sekarang akan dibuktikan teorema dasar kalkulus II,

Misal g(x) adalah integral atau antiturunan dari fungsi f, maka

$g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt$ .
Misalkan juga F(x) adalah antiturunan lain dari fungsi f, F(x) dan g(x) (antara F(x) dan g(x) berbeda Konstanta, Maka bisa ditulis:

$F(x) = g(x) + C$
Berdasarkan

$F(x) = g(x) + C \,$ dan

$g(x) = \int \limits_a^x f(t) dt$ :

$F(a) = g(a) + C \,$ dan

$\, F(b) = g(b) + C$ .

$g(a) = \int \limits_a^a f(t) dt = 0 \,$ dan

$\, g(b) = \int \limits_a^b f(t) dt$ .
Kurangkan

$F(b) \,$ dan

$F(a)$ :

$\begin{align} F(b) - F(a) & = (g(b) + C) - (g(a) + C) \\ & = g(b) + C - g(a) - C \\ & = g(b) - g(a) \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt - 0 \\ & = \int \limits_a^b f(t) dt \end{align}$
Terbukti