Penyederhanaan fungsi yang dimaksud merujuk pada identitas dan invers trigonometri. Rumus identitas yang harus anda ingat kembali adalah,
$ \sin ^2 t + \cos ^2 t = 1 $.
$ 1 + \tan ^2 t = \sec ^2 t $.
$ 1 + \cot ^2 t = \csc ^2 t $.
Sementara rumus invers trigonometri yang saya maksud adalah,
$ \sin t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \sin f(x) $
$ \cos t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \cos f(x) $
$ \tan t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \tan f(x) $
$ \cot t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \cot f(x) $
$ \sec t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \sec f(x) $
$ \csc t = f(x) \, , \rightarrow t = arc \csc f(x) $
Contoh penggunaan invers ini sebagai berikut,
$ \sin t = \frac{1}{2} \rightarrow t = arc \sin \frac{1}{2} \rightarrow t = 30^\circ $
$ \cos t = 3x \rightarrow t = arc \cos (3x) $
$ \tan t = \frac{x - 2}{5} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x - 2}{5} \right) $
Bentuk Subtitusi Trigonometri
Bentuk umum trigonometri yang akan disubtitusikan sebagai beriku,
Bentuk $ \sqrt{a^2 - b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sin t \, $
Bentuk $ \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \tan t \, $
Bentuk $ \sqrt{b^2x^2 - a^2 } , \, $ substitusi $ x = \frac{a}{b} \sec t \, $
Atau secara umum anda perhatikan tabel di bawah ini,
Lebih mudah jika anda perhatikan contoh soal dan pembahasan integral subtitusi trigonometri di bawah ini.
Soal 1: Hasil dari integral $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx $
Jawab:
Berdasarkan bentuk $ \sqrt{1-x^2} , \, $ ini adalah bentuk pertama dimana a=1. Oleh sebab itu anda akan gunakan pen-substitusi $ x = \sin t \, $
Ubah/subtitusikan $ x = \sin t $ pada soal.
$ x = \sin t \rightarrow t = arc \sin x $
$ x = \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \cos t \rightarrow dx = \cos t dt $.
$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-(\sin t) ^2 } = \sqrt{\cos ^2 t } = \cos t $.
Gunakan rumus identitas trigonometri: $ \sin ^2 t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t $.
juga $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.
dan $ \cos t = \sqrt{1 - \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 - x^2 } $
Perhatikan semua penggantian variabel x dan dx menjadi t:
$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx & = \int \frac{(\sin t)^2}{ \cos t } \cos t dt \\ & = \int (\sin t)^2 dt \\ & = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{1}{2} x \sqrt{ 1 - x^2 } + c \\ & = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c \end{align} $
Maka diperoleh hasil : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{1}{2} arc \sin x - \frac{x}{2} \sqrt{ 1 - x^2 } + c $
Soal 2: Tentukanlah hasil integral $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx $ ?
Jawab:
Bentuknya $ 4 + x^2 , \, $ kedua, dimana a=2 sehingga anda perlu substitusi $ x = 2 \tan t $.
$ x = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) $
$ x = 2 \tan t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.
$ \begin{align} 4 + x^2 & = 4 + (2 \tan t)^2 = 4 + 4 \tan ^2 t = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.
Semua x dan dx pada soal diubah dalam t:
$ \begin{align} \int \frac{1}{4 + x^2} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $
Maka diperoleh hasil: $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c $
Soal 3: $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx=... $ ?
Jawab:
Agar mudah fungsi diubah dalam bentuk kuadrat sempurna ,
$ \begin{align} x^2 + 2x + 5 & = (x^2 + 2x + 1 ) + 4 \\ & = (x+1)^2 + 4 \end{align} $
Bentuk $ (x+1)^2 + 4 , \, $ seperti bentuk umum kedua, maka anda substitusi $ x + 1 = 2 \tan t $.
$ x + 1 = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x+1}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) $
$ x + 1= 2 \tan t \rightarrow x = 2\tan t - 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.
$ \begin{align} (x+1)^2 + 4 & = (2\tan t)^2 + 4 = 4\tan ^2 t + 4 = 4(1+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.
Semua variabel x diubah dalam t:
$ \begin{align} \int \frac{1}{(x+1)^2 + 4} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^2 t} . 2 \sec ^2 t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+ 1}{2} \right) + c \end{align} $
Maka diperoleh hasil: $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) + c $
Jadilah Komentator Pertama untuk "Penyelesaian Integral Fungsi Khusus dengan Subtitusi Trigonometri"
Post a Comment