Rumus dan Contoh Soal Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

martha yunanda integral

Saya tak akan menjelaskan lebih lagi tentang apa itu pengertian integral. Anda bisa baca pada halaman terkait: Pengertian dan Dasar Integral. Khusus pada halaman ini saya akan jelaskan tentang integral trigonometri.

Adapun rumus rumus integral trigonometri sebagai berikut,

1. Rumus Dasar Integral Trigonometri

1). $ f(x) = \sin x \rightarrow f^\prime (x) = \cos x $

artinya $ \int \cos x dx = \sin x + c $

2). $ f(x) = \cos x \rightarrow f^\prime (x) = -\sin x $

artinya $ \int - \sin x dx = \cos x + c \, $ atau $ \, \int \sin x dx = -\cos x + c $

3). $ f(x) = \tan x \rightarrow f^\prime (x) = \sec ^2 x $

artinya $ \int \sec ^2 x dx = \tan x + c $

4). $ f(x) = \cot x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc ^2 x $

artinya $ \int - \csc ^2 x dx = \cot x + c \, $ atau $ \, \int \csc ^2 x dx = -\cot x + c $

5). $ f(x) = \sec x \rightarrow f^\prime (x) = \sec x \tan x $

artinya $ \int \sec x \tan x dx = \sec x + c $

6). $ f(x) = \csc x \rightarrow f^\prime (x) = -\csc x \cot x $

artinya $ \int -\csc x \cot x dx = \csc x + c \, $

atau $ \, \int \csc x \cot x dx = -\csc x + c $

Contoh Soal Integral Trigonometri Dasar:

Catatan: Anda harus ingat rumus identitas trigonometri:

$ \sec x = \frac{1}{\cos x }, \, \csc x = \frac{1}{\sin x}, \, \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \, \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $

Soal 1. $ \int \sin x - \cos x dx $

$ \int \sin x - \cos x dx = -\cos x - \sin x + c $

Soal 2. $ \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx $

$ \begin{align} \int \frac{\sin x + \csc x}{\tan x } dx & = \int \frac{\sin x + \csc x}{ \frac{\sin x}{\cos x} } dx \\ & = \int (\sin x + \csc x) \times \frac{\cos x}{\sin x} dx \\ & = \int ( \sin x . \times \frac{\cos x}{\sin x} + \csc x \times \frac{\cos x}{\sin x} ) dx \\ & = \int ( \cos x + \csc x \cot x ) dx \\ & = \sin x - \csc x + c \end{align} $

2. Rumus Integral Trigonometri bentuk ax+b

Pada dasarnya ini sama saja. Tetapi perlu anda perhatikan pengaruh konstanta a sebagaimana rumus rumus berikut,

1). $ f(x) = \sin (ax+b) \rightarrow f^\prime (x) = a\cos (ax + b) $

artinya $ \int a\cos (ax + b) dx = \sin (ax+b) + c $

atau $ \int \cos (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sin (ax+b) + c $

2). $ f(x) = \cos (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\sin (ax + b) $

artinya $ \int - a\sin (ax + b) dx = \cos (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \sin (ax + b) dx = -\frac{1}{a}\cos (ax + b) + c $

3). $ f(x) = \tan (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a \sec ^2 (ax + b) $

artinya $ \int a \sec ^2 (ax + b) dx = \tan (ax + b) + c $

atau $ \int \sec ^2 (ax + b) dx = \frac{1}{a} \tan (ax + b) + c $

4). $ f(x) = \cot (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc ^2 (ax + b) $

artinya $ \int - a\csc ^2 (ax + b) dx = \cot (ax + b) + c \, $

atau $ \, \int \csc ^2 (ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cot (ax + b) + c $

5). $ f(x) = \sec (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = a\sec (ax + b) \tan (ax + b) $

artinya $ \int a\sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \sec (ax + b) + c $

atau $ \int \sec (ax + b) \tan (ax + b) dx = \frac{1}{a} \sec (ax + b) + c $

6). $ f(x) = \csc (ax + b) \rightarrow f^\prime (x) = -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) $

artinya $ \int -a\csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = \csc (ax + b) + c $

atau $ \int \csc (ax + b) \cot (ax + b) dx = - \frac{1}{a} \csc (ax + b) + c $

Contoh Soal yang berkaitan dengan integral trigonometri bentuk ax+b  ini sebagai berikut,

Soal 1. $ \int \sin (2x + 3) dx $

 $ \int \sin (2x + 3) dx = -\frac{1}{2} \cos (2x + 3) + c $

Soal 2. $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx $

 $ \int \csc ^2 (-2x + 1) + \sin (2x) dx = -\frac{1}{-2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $

$ = \frac{1}{2} \cot (-2x + 1) - \frac{1}{2} \cos (2x) + c $

Dari soal di atas terlihat hanya operasi penjumlahan. lalu bagaimana jika soal ditemukan dalam bentuk operasi perkalian.

Integral Trigonometri dalam Bentuk Perkalian

Pada suatu kondisi anda harus ingat tentang beberapa rumus perkalian dan sudut rangkap pada trigonometri. Rumus trigonometri yang saya maksud,

$ 2 \sin A \cos B = \sin (A+B) + \sin (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ 2 \cos A \sin B = \sin (A+B) - \sin (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) - \sin (A-B)] $

$ 2 \cos A \cos B = \cos (A+B) + \cos (A-B) \, $

atau $ \, \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] $

$ -2 \sin A \sin B = \cos (A+B) - \cos (A-B) \, $

atau $ \, \sin A \sin B = -\frac{1}{2} [\cos (A+B) - \cos (A-B)] $

Sudut Rangkap/Ganda

$ \cos ^2 A f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2A f(x) ] $

$ \sin ^2 A f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2A f(x) ] $

Contoh penggunaan rumus di atas ketika anda menemukan soal soal seperti berikut,

Soal 1. $ \int \sin 5x \cos 2x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus : $ \, \sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B) + \sin (A-B)] $

$ \begin{align} \int \sin 5x \cos 2x dx & = \int \frac{1}{2} [ \sin (5x+2x) + \sin (5x-2x)] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} \int [ \sin (7x) + \sin (3x)] dx \\ & = \frac{1}{2} [ -\frac{1}{7}\cos (7x) - \frac{1}{3} \cos (3x)] + c \\ & = -\frac{1}{14}\cos (7x) - \frac{1}{6} \cos (3x) + c \end{align} $

Soal 2. $ \int \cos ^2 3x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus : $ \, \cos ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2p f(x) ] $

$ \int \cos ^2 3x dx $

$ \begin{align} \int \cos ^2 3x dx & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 3x ] dx \\ & = \int \frac{1}{2} [ 1 + \cos 6x ] dx \\ & = \frac{1}{2} [ x + \frac{1}{6} \sin 6x ] + c \\ & = \frac{1}{2}x + \frac{1}{12} \sin 6x + c \end{align} $

Soal 3. $ \int \sin ^4 5x dx $

Tinjau dan Pergunakan Rumus: $ \, \sin ^2 p f(x) = \frac{1}{2} [ 1 - \cos 2p f(x) ] $

$ \begin{align} \int \sin ^4 5x dx & = \int \sin ^2 5x \sin ^2 5x dx \\ & = \int (\sin ^2 5x)^2 dx \\ & = \int (\frac{1}{2} [ 1 - \cos 2 . 5x ])^2 dx \\ & = \int \frac{1}{4} [ 1 - \cos 10x ]^2 dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \cos ^2 10 x ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 2 . 10x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} [ 1 + \cos 20x ] ] dx \\ & = \frac{1}{4} \int [ 1 - 2 \cos 10 x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 20x ] dx \\ & = \frac{1}{4} [ x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} . \frac{1}{20} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{1}{4} [ \frac{3}{2}x - \frac{2}{10} \sin 10 x + \frac{1}{40} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{2}{40} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \\ & = \frac{3}{8}x - \frac{1}{20} \sin 10 x + \frac{1}{160} \sin 20x ] + c \end{align} $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn