Cara Cepat Menghitung Luas Daerah Antara 2 Kurva

martha yunanda integral

Sebelumnya telah digunakan rumus cepat menghitung daerah antara dua kurva I. Anda bisa baca di Cara Menghitung Luas Daerah dengan Integral. Melanjutkan rumus yang lebih ampuh, dan savage anda bisa juga gunakan rumus kedua ini.

Syarat dan ketentuannya tetap sama, dimana daerah harus dibatasi dua kurva dan fungsi dari kurva tersebut maksimal berpangkat 2. Kurang lebih gambarannya seperti berikut,

Adapun rumus yang digunakan adalah:

$\text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3$

$x_1$ dan $x_2$ adalah perpotongan antara 2 kurva.
Langkah pengunaan rumus ini.

1. Samakan kedua fungsi dan bentuk jadi f(x)-g(x)=0
2. Faktorkan sehingga ditemukan $x_1$ dan $x_2$
3. Gunakan rumus di atas.

Sebelum melihat penggunaan rumus ini dalam bentuk contoh soal, silakan perhatikan pembuktian di bawah ini,

Pembuktian Rumus

Akan dibuktikan Luas daerah antara dua kurva memenuhi $\text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3$.

Pada persamaan kuadrat berlaku,

$x_2 - x_1 = \frac{\sqrt{D}}{a }$

Diubah bentuknya menjadi

$\sqrt{D} = a(x_2 - x_1 ) \,$ dan $D = a^2(x_2 - x_1)^2$

Berdasarkan rumus cepat pertama, 

$\$text{Luas }  = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$

Maka,

$\begin{align} \text{Luas } & = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2} \\ & = \frac{a^2(x_2 - x_1)^2 . a(x_2 - x_1 ) }{6a^2} \\ & = \frac{a(x_2 - x_1)^3}{6} \\ & = \frac{a}{6} (x_2 - x_1)^3 \, \, \, \, \, \, \text{(luas selalu positif)} \\ & = \frac{a}{6} |x_1-x_2|^3 \end{align}$

Contoh Soal dan Pembahasan

 Soal 1. Hitung luas daerah yang di batasi oleh fungsi persamaan $y = x^2 - 2x \,$ dan $y = 6x - x^2$ ?

Pembahasan:

Cari titik potong kurva persamaan:

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 - 2x & = 6x - x^2 \\ 2x^2 - 8x & = 0 \\ 2x(x-4)=0 \\ x_1=0 \ , \ x_2=4  \end{align}$

Gunakan Rumus luas:

$\text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 \\ \text{Luas } = \frac{2}{6}|0-4|^3 \\ \\ \text{Luas } =\frac {64}{3}  \\ \text{Luas }= 21\frac{1}{3}$
Silakan dibandingkan dengan cara pertama

$\$text{Luas }  = \frac{D\sqrt{D}}{6a^2}$
Sama bukan?

Soal 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 + 3x + 5 \,$ dan $y = -4x - 1$ ?

Pembahasan:

Bentuk persamaan dan menghitung nilai diskriminan:

$\begin{align} y_1 & = y_2 \\ x^2 + 3x + 5 & = -4x - 1 \\ x^2 + 7x + 6 & = 0 \\ a = 1, \, x_1 = 1, \, x_2 & = 6  \end{align}$

Gunakan rumus luas:

$\text{Luas } = \frac{a}{6}|x_1-x_2|^3 \\ \text{Luas } = \frac{1}{6}|1-6|^3 \\ \text{Luas } =\frac {125}{6} \\  \text{Luas }= 21\frac{1}{3} =  20\frac{5}{6}$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn