Rumus Cepat III Menghitung Luas dibatasi Kurva

martha yunanda integral

Pada konsep dasarnya telah dijelaskan pada halaman sebelumnya mengenai cara menghitung luas daerah yang dibatasi kurva. Juga telah diberikan rumus cepat I dan rumus cepat 2 untuk menghitung luas daerah yang dibatasi kurva.

Berikut trik ke-tiga. Di sini syarat dan ketentuannya adalah salah satu interval batasnya adalah titik balik parabola. Ini berlaku hanya untuk satu parabola. Sketsanya seperti ini,

Dari gambar di atas perbandingan Luas A dan Luas B= 2:1. Atau lebih rinci bisa ditulis,

 $\, Luas A= \frac{2}{3} \times \,$ luas persegi panjang,
 $\, Luas B = \frac{1}{3} \times \,$ luas persegi panjang.

Pembuktian Luas Daerah 

Terdapat fungsi $y = ax^2 \,$. Sebelumnya bagaimana jika bentuk fungsi, $y = ax^2 + bx + c \,$?

Fungsi $y = ax^2 + bx + c \,$ adalah hasil penggeseran dari $y = ax^2 \,$ (silakan baca materi persamaan kuadrat). Secara geometris ketika anda menggeser sebuah objek secara keseluruhan maka Luas daerah tidak berubah. Makanya agar lebih mudah saya ambil $y = ax^2 \,$ saja.

Luas masing masing dihitung,

Luas daerah A dibatasi oleh kurva $y = ak^2 \,$ dan $y = ax^2$ dengan interval 0 sampai $k$,

$\begin{align} \text{Luas A } & = \int \limits_0^k (ak^2 - ax^2) dx \\ & = [ak^2x - \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ak^2 . k - \frac{a}{3}.k^3] - [ak^2.0 - \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ak^3 - \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{2}{3}ak^3 \end{align}$

Luas daerah B dibatasi oleh kurva $y = ax^2$ dengan interval 0 sampai $k$,

$\begin{align} \text{Luas B } & = \int \limits_0^k ax^2 dx \\ & = [ \frac{a}{3}x^3]_0^k \\ & = [ \frac{a}{3}.k^3] - [ \frac{a}{3}.0^3] \\ & = [ \frac{a}{3}k^3] - [0] \\ & = \frac{1}{3}ak^3 \end{align}$

Bandingkan,

$\begin{align} \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{\frac{2}{3}ak^3}{\frac{1}{3}ak^3} \\ \frac{\text{Luas A }}{\text{Luas B }} & = \frac{2}{1} \end{align}$

Terbukti bukan?

Contoh Soal dan Pembahasan:

Hitunglah Luas daerah dari

Pembahasan:

a)  persegi panjang dengan panjang 2 dan lebar 3

 $\, Luas= \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 3 = 4$

b) Luas L1 $\, = \frac{2}{3} \times p \times l = \frac{2}{3} \times 2 \times 2 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$

Luas L2 (segitiga) $\, = \frac{1}{2} \times a \times t = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$

Sehingga luas totalnya :

 $\, = L1 + L2 = 2\frac{2}{3} + 2 = 4\frac{2}{3}$

c) Bagi bangun terlebih dahulu,

Persegi panjang memiliki panjang 1 dan lebar $b$.

Tentukan nilai $b$ :

$\begin{align} \text{Luas arsir } & = L_A + L_B \\ 5 & = 2 \times L_A \\ 5 & = 2 \times \frac{2}{3} \times p \times l \\ 5 & = \frac{4}{3} \times 1 \times b \\ 5 & = \frac{4}{3} \times b \\ b & = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align}$

Tentukan nilai $a$ :

Karena titik $(a,b) \,$ adalah titik puncak, maka $a \,$ terletak ditengah-tengah antara titik potong parabola dengan sumbu X yaitu antara 2 dan 4, artinya nilai $a = \frac{2 + 4}{2} = 3$.Selanjutnya anda tentu bisa menghitung luas I. Karena bangun I dan 2 simetris, hasilnya tinggal anda kali 2.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn