Rumus Perkalian Trigonometri dan Contoh Soal

martha yunanda trigonometri

Adapun rumus perkalian dalam trigonometri yang melibatkan sinus dan cosinus sebagai berikut,

Mungkin anda akan bertanya darimana datangnya rumus perkalian tersebut. Rumus tersebut di dapat dari rumus jumlah dan selisih sudut pada trigonometri beriku,
 $\sin (A + B)   = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin (A  - B)   = \sin A \cos B  - \cos A \sin B \\ \cos (A+B)   = \cos A \cos B  - \sin A \sin B \\ \cos (A-B)   = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Sekarang mari kita lihat masing-masingnya.
Pembuktian Rumus sin A.cos B
$\begin{array}{cc} \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B & \\ \sin (A  - B) = \sin A \cos B  - \cos A \sin B & + \\ \hline \sin (A + B) + \sin (A  - B ) = 2 \sin A \cos B & \end{array} \\ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin (A + B) + \sin (A  - B ) ]$

Pembuktian Rumus cos A.sin B
$\begin{array}{cc} \sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B & \\ \sin (A  - B) = \sin A \cos B  - \cos A \sin B &  - \\ \hline \sin (A + B)  - \sin (A  - B ) = 2 \cos A \sin B & \end{array} \\ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B)  - \sin (A- B) ]$

Pembuktian Rumus sin A.sin B
 $\begin{array}{cc} \cos (A+B) = \cos A \cos B  - \sin A \sin B & \\ \cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B &  - \\ \hline \cos (A + B)  - \cos (A  - B ) = -2 \sin A \sin B & \end{array} \\ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B)  - \cos (A- B) ]$

Pembuktian Rumus cos A. cos B
$\begin{array}{cc} \cos (A+B) = \cos A \cos B  - \sin A \sin B & \\ \cos (A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B & + \\ \hline \cos (A + B) + \cos (A  - B ) = 2 \cos A \cos B & \end{array} \\  \cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ]$

Sekarang untuk penggunaan rumus di atas, anda bisa perhatikan contoh soal dan pembahasan Perkalian Trigonometri berikut ini,

Soal 1. $\sin 75^\circ \cos 15^\circ=$
Kita bisa gunakan rumus sinA.cos B, sehingga bisa ditulis.
 $\sin A \cos B   = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] \\ \sin 75^\circ \cos 15^\circ   = \frac{1}{2}[ \sin (75^\circ +15^\circ ) + \sin (75^\circ  - 15^\circ ) ] \\   = \frac{1}{2}[ \sin (90^\circ ) + \sin (60^\circ ) ] \\   = \frac{1}{2}[ 1 + \frac{1}{2}\sqrt{3} ] \\   = \frac{1}{4}( 2 + \sqrt{3} )$

Soal 2. $\cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ=$
Gunakan rumis cos A sin B
$\cos A \sin B   = \frac{1}{2}[ \sin (A+B)  - \sin (A- B) ] \\ \cos 67\frac{1}{2}^\circ \sin 22\frac{1}{2}^\circ   = \frac{1}{2}[ \sin ( 67\frac{1}{2}^\circ + 22\frac{1}{2}^\circ )  - \sin (67\frac{1}{2}^\circ  - 22\frac{1}{2}^\circ) ] \\   = \frac{1}{2}[ \sin ( 90^\circ )  - \sin (45^\circ) ] \\   = \frac{1}{2}[ 1  - \frac{1}{2} \sqrt{2} ] \\   = \frac{1}{4}( 2  - \sqrt{2} )$

Soal 3. $\cos 105^\circ \cos 15^\circ =$
Gunakan rumus cos A.cos B
$\cos A \cos B   = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] \\ \cos 105^\circ \cos 15^\circ   = \frac{1}{2}[ \cos (105^\circ + 15^\circ ) + \cos (105^\circ  - 15^\circ ) ] \\   = \frac{1}{2}[ \cos (120^\circ ) + \cos (90^\circ ) ] \\   = \frac{1}{2}[  - \cos (60^\circ ) + 0 ] \\   = \frac{1}{2}[  - \frac{1}{2} + 0 ] \\   =  - \frac{1}{4}$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn