Koefisien Binomial (Ekspansi Binomial)

martha yunanda kombinatorika

Ekspansi binomial merupakan salah satu bentuk kegunaan aplikasi perhitungan kombinasi. Misalkan anda memiliki $(x+y)^n$ , maka penggunaan ekspansi binomial adalah untuk menentukan nilai dari koefisien penjabaran ekspansi tersebut.

Sebagai  contoh sederhana, misalkan
$(x+y)^4 =x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y4$.
Sangat sederhana, anda bisa menentukan ekspansi suku suku penjabaran dan koefisiennya. Lantas bagaimana jika menemukan permasalahan $(x+y)^100$. Bisakah anda menentukan koefisien $x^{49}y^{51}$. Inilah bentuk penggunaan kombinasi dalam ekspansi binomial. Di sini ada beberapa teorema,

Teorema 1 -Teorema Koefisien Binomial

Misalkan x dan y adalah variabel, dan n adalah bilangan bulat non-negatif, maka

Pembuktian teorema ini bisa mengunakan kombinatorik. Suku pada penjabara $(x+y)^n$ akan berbentuk $ x^{n−j}y^j$ untuk nilai j =0,1,2,...,n. Perhitungan banyaknya suku
Untuk menghitung banyaknya $ x^{n−j}y^j$, perlu dipilih$ (n−j) x $dari n faktor. Oleh sebab itu maka koeefisien dari $ x^{n−j}y^j$ adalah $\begin{pmatrix} n \\  n-j \end{pmatrix}$ yang ekivalen dengan $\begin{pmatrix} n \\  j \end{pmatrix}$

Contoh Soal Ekspansi Binomial 1
Berapakah nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ pada ekspansi $(x+y)^{25}$?

Pembahasan:
Berdasarkan teorema binomial maka koefisien dari $x^{12}y^{13}$ adalah,
$\begin{pmatrix} 25 \\  13 \end{pmatrix}=_{25} C _{13}  = \frac {25!}{13!12!}=5.200.300$

Contoh Soal Ekspansi Binomial 2
Berapakah nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ pada ekspansi $ (2x−3y)^{25}$

Pembahasan:
ekspresi $(2x−3y)^{25}= (2x+(−3y))^{25}$.
Berdasarkan teorema binomial,

maka $x^{12}y^{13}$ di dapat pada saat j=13.
$\begin{pmatrix} 25 \\  13 \end{pmatrix} 2^{12}(−3)^{13}= _{25} C_{13}2^{12}(−3)^{13}=− \frac {25!}{13!12!} 2^{12}3^{13}$

Berikutnya lanjutkan membaca: Teorema 2 - Identitas Segitiga Pascal.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn