Salah satu penerapan atau aplikasi turunan adalah dalam bidang fisika. Lebih khususnya untuk menentukan kecepatan dan percepatan sebuah benda yang bergerak.
Jika perpindahan benda dinyatakan dalam fungsi S(t). Maka kecepatan benda adalah Turunan pertama dari fungsi perpindahan tersebut terhadap waktu. Selanjutnya, berbicara tentang percepatan merupakan turunan pertama dari kecepatan terhadap waktu. Dengan lain kalimat, percepatan adalah turunan ke dua dari fungsi perpindahan. Agar lebih mudah, Anda bisa perhatikan rumus hubungan Perpindahan (S), Kecepatan (v) dan Percepatan (a) di bawah ini. $$Perpindahan \rightarrow S(t) \\ Kecepatan \rightarrow v(t)=S'(t) \\ Percepatan \rightarrow a(t)=v'(t)=S"(t)$$
Sekarang kita akan lihat contoh soal dan pembahasan tentang mencari percepatan, kecepatan dengan menggunakan turunan ini.
Soal 1. Perpindahan benda yang bergerak mengikuti persamaan $$ S(t) =t^3-4t^2+20$$ dimana t dalam detik dan S dalam meter.
i-Tentukan fungsi kecepatan dan percepatan benda tersebut
ii-Hitunglah kecepatan dan percepatan benda saat 3 detik
iii -Kapan benda itu berhenti
iv-Pada jarak berapa benda tersebut berhenti
Pembahasan: $$ (i) \text {fungsi kecepatan dan percepatan} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2-6t \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t -6 \\ \\ (ii) \text {kecepatan dan percepatan saat t=3} \\v(t) = 3t^2 - 6t \rightarrow v(3) = 3.3^2 - 6.3 = 9 m/s \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 \rightarrow a(3) = 6.3 -6 = 12m/s^2 \\ \\ (iii) \text {Benda Berhenti Saat v=0} \\ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 6t = 0 \rightarrow 3t(t-2) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 2 \\ \\ (iv) \text {Benda berhenti saat t=2} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ S(2) = 2^3-4.2^2+20 = 12 m$$
i-Tentukan fungsi kecepatan dan percepatan benda tersebut
ii-Hitunglah kecepatan dan percepatan benda saat 3 detik
iii -Kapan benda itu berhenti
iv-Pada jarak berapa benda tersebut berhenti
Pembahasan: $$ (i) \text {fungsi kecepatan dan percepatan} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ v(t) = s^\prime (t) = 3t^2-6t \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t -6 \\ \\ (ii) \text {kecepatan dan percepatan saat t=3} \\v(t) = 3t^2 - 6t \rightarrow v(3) = 3.3^2 - 6.3 = 9 m/s \\ a(t) = s^{\prime \prime } (t) = 6t - 6 \rightarrow a(3) = 6.3 -6 = 12m/s^2 \\ \\ (iii) \text {Benda Berhenti Saat v=0} \\ v(t) = 0 \rightarrow 3t^2 6t = 0 \rightarrow 3t(t-2) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 2 \\ \\ (iv) \text {Benda berhenti saat t=2} \\ S(t) =t^3-4t^2+20 \\ S(2) = 2^3-4.2^2+20 = 12 m$$
Soal 2. Sebuah batu dilemparkan vertikal dengan kecepatan awal 80m/s. Bila diasumsikan arah positif ke atas dan persamaan tinggi $ h(t) = -16t^2 + 80t \, $ dimana t dalam detik dan h dalam meter. Hitunglah:
i-Ketinggian, Kecepatan dan percepatan batu setelah 2 detik
ii- waktu yang dibutuhkan untuk sampai di titik tertinggi
iii-lama waktu benda di udara
iv- Kecepatan bola saat menyentuh tanah
Pembahasan:
Dalam hal ini ketinggian pada gerak vertikal sama dengan jarak pada gerak horizontal. Kita bisa anggap h sebagai pengganti S pada rumusan di atas.
Sekarang kita cari persamaan kecepatan dan percepatan batu terlebih dahulu, $$ h(t) = -16t^2 + 80t \\ v(t) = s^\prime (t) = -32t + 80 \\ a(t) = h^{\prime \prime } (t) = -32 $$
i) Kita lanjutkan menghitung kecepatan dan percepatan saat t=2 detik, $$ h(2) = -16t^2 + 80.2 =96 m. \\ v(2) = -32.2 + 80 = 16 \\ a(2) = -32 , \text { tanda negatif menunjukkan benda diperlambat}$$
ii) Pada titik tertinggi, kecepatan batu =0. Bisa kita tulis $$ v(t)=0 \\ -32t + 80 =0 \\ t = 2,5 detik$$
iii) Lama benda di udara adalah 2 kali lama benda sampai ke titik tertinggi. Perhatikan ilustrasi berikut,
 |
| Waktu untuk daerah merah, benda naik. Karena untuk turun daerah biru, juga sama besar dengan daerah merah, artinya waktu yang mereka butuhkan juga sama |
iv) Kecepatan Benda saat menyentuh tanah. Karena benda menyentuh tanah lagi dalam waktu 5 detik, kita tinggal mensubtitusikan t=5 pada persamaan kecepatan. $$ v(t)=-32t + 80 \\ v(5) = -32.5+80 = 80 m/s$$
Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Aplikasi Turunan dalam Bidang Fisika Gerak"
Post a Comment