Cara Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva dengan Turunan

martha yunanda fungsi, turunan

Aplikasi atau penggunaan turunan dalam matematika salah satunya digunakan dalam menentukan gradien dan persamaan garis singgung pada sebuah kurva. Sebelumnya jika ingin mendalami ini materi, anda harus benar benar paham bagaimana cara menurunkan sebuah persamaan. Cara ini bisa digunakan untuk menentukan gradien dan persamaan garis singgung baik itu fungsi aljabar ataupun fungsi trigonometri.

Langkah Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva pada Suatu Titik

Jika dimisalkan x adalah absis pada sebuah kurva f(x). Maka koordinat titiknya adalah (x,f(x)). Sedangkan gradien garis singgung pada titik x tersebut bisa didefenisikan sebagai m dimana m=f’(x). Atau kita bisa menulis langkah untuk menentukan gradien dan persamaan garis singgung ini sebagai berikut,

1. Cari gradien garis m dimana m= f’(x)
2. Temukan $(x_1, y_1)$. Untuk $y_1$ bisa didapat dari $f(x_1)$
3. Gunakan rumus persamaan garis, $$y-y_1= m(x-x_1) \\ \text {dimana } y_1 = f(x_1)$$

Untuk lebih memahami model model soal yang berhubungan dengan persamaan garis singgung kurva pada satu titik, bisa dilihat contoh soal dan pembahasan mengenai persamaan garis singgung pada suatu kurva berikut,

#Soal 1. Menentukan Garis Singgung Kurva, Diketahui titik dan persamaan kurva
Persamaan garis singgung kurva $ f(x) = x^3 -3x + 4 $ di titik (2,6) adalah…

Pembahasan: $$ f(x)= y = x^3 -3x + 4 \\ f^\prime (x) = 3x^2 – 3 \\ \text { titik (2,6)} \\ x=2 \\ m=f^ \prime (2) \\ m =3.2^2-3 \\ m= 9$$

Gradien gari singgun tersebut adalah 9, selanjutnya kita gunakan rumus mencari persamaan garis $y-y_1= m(x-x_1)$ sehingga bisa kita tulis, $$ m= 9 , (x_1,y_1)=(2,6) \\ y-y_1= m(x-x_1) \\ y-6=9(x-2) \\ y-6=9x-18 \\ y-9x+12 =0 $$

Jadi persamaan garis singgung di titik (2,6) pada kurva $ f(x) = x^3 -3x + 4 $ adalah $y-9x+12 =0 $

#Soal 2. Menentukan Garis Singgung Kurva, Diketahui absis (x) dan Persamaan Kurva
Pada kurva $ y = x^2 - x + 2 , $, tentukan persamaan garis singgung di titik ber-absis 1.

Pembahasan: $$ f(x)=y= x^2 - x + 2 \\ f \prime (x) = 2x-1 \\ \text { absis =x=1} \\ m=f \prime (1) =2.1-1 \\ m = 1$$

Sementara itu kita belum mengetahui nilai $y_1$. Di atas telah disebutkan bahwasanya $y_1=f(x_1)$ Dengan demikian kita harus mencari nilainya terlebih dahulu $$ x_1 =1 \\ y_1=f(x_1) \\ y_1 =f(1) \\ y_1= 1^2-1+2 \\ y_1 = 2 \\ \text {lanjutkan dengan pers.garis} \\ y-y_1=m(x-x_1) \\ y-2 = 1(x-1) \\ y-3=x-1 \\ y =x+1 $$

#Soal 3. Menentukan Persamaan Garis Singgung Diketahui Gradien dan Persamaan Kurva
Persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 - 2x + 3 $ dengan gradien 2 adalah…

Pembahasan: $$ f(x)=y= x^2 - 2x + 3 \\ m=f \prime (x) = 2x-2$$ pada soal ini diketahui gradien, artinya kita belum memiliki nilai $(x_1, y_1)$. Kita akan cari terlebih dahulu nilai ini, $$ m=f \prime (x_1) \\ 2 = 2.x_1-2 \\ x_1 = 2 \\ \text {lanjut kita cari} y_1 \\ y_1 =f(x_1) \\ y_1 =2^2-2.2+3 \\ y_1 =3 \\ \text {lanjutkan cari pers.garis} \\ y-y_1 = m(x-x_1) \\ y-3= 2(x-2) \\ y-3=2x-4 \\ y=2x-1 $$

#Soal 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung diketahui Garis lain dan pers. Kurva
Tentukan persamaan garis singgung kurva $ y = x^2 + x -1 , $ yang sejajar dengan garis y=7x+4.

Pembahasan:
Note: Untuk jenis soal seperti ini kita harus mengetahui hubungan gradien antara dua garis. Ingat kembali,
2 garis yang sejajar gradiennya sama, $m_1=m_2$
2 garis saling tegak lurus, $m_1.m_2 = -1$
Karena pada soal ini garisnya sejajar, maka kita gunakan $m_1=m_2$. Yang akan kita gunakan dalam hitungan nanti adalah $m_2$.
$$g_1 = y=7x+4 \\ m_1 = 7 \\ \text {karena sejajar berlaku} m_1=m_2 \\ m_2= 7$$

Jika telah mendapat gradien garis ini, silakan lanjutkan sesuai langkah nomor soal nomor 3 di atas. Jika anda mengikutinya dengan benar akan di dapat $(x_1,y_1)= (3,11)$. Persamaan garis, y=7x-10.

Pada kasus jika diketahui kurva dan garis lain yang tegak lurus, langkahnya sama saja dengan soal nomor 4. Hanya saja untuk mencari $m_2$ gunakan $m_1.m_2=-1$. Selanjutnya: Contoh Aplikasi Turunan dalam Bidang Fisika Gerak

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn