Identitas Segitiga Pascal

martha yunanda kombinatorika

Melanjutkan teorema Ekspansi Binomial pertama, yaitu teorema Identitas segitiga pascal. Adapun bunyi kelanjutan teorema 2 Identitas segitiga pascal tersebut didefenisikan sebagai berikut,

Misalkan n dan k adalah bilangan bulat positif dengan n≥k. Maka
$\begin{pmatrix} n+1 \\  k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\  k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix}$

Pembuktian teorema di atas bisa dilakukan dengan kombinatorik seperti uraian berikut,
Misalkan pula bahwa a adalah sebuah elemen pada himpunan T dan S=T−{a}. Karena |T|=n+1 berarti ada $\begin{pmatrix} n+1 \\  k \end{pmatrix}$ subset dari himpunan T dengan k elemen.

Akan tetapi, subset dari himpunan T dengan k elemen salah satunya memuat a bersama dengan k−1 elemen dari S atau kalau tidak memuat k elemen dari S dan tidak memuat a.

Jika subset dari himpunan T dengan k elemen memuat a bersama dengan k−1 elemen dari S maka banyaknya subset yang berbentuk seperti ini ada $\begin{pmatrix} n \\  k-1 \end{pmatrix} $ 

Jika subset dari himpunan T dengan k elemen memuat k elemen dari S dan tidak memuat a maka banyaknya subset yang berbentuk seperti ini ada $\begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix}$ Akibatnya,
$\begin{pmatrix} n+1 \\  k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\  k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n \\  k \end{pmatrix}$


Lebihnya untuk lebih sederhana perhatikan pola di bawah ini,

Identitas paskal menunjukkan bahwa saat koefisien binomial yang bertetangga pada segitiga ini dijumlahkan, koefisien pada baris selanjutnya yang berada diantara dua koefisien ini dihasilkan dari penjumlahan tersebut. Berikutnya, lanjutkan membaca Teorema Identitas Vandermonde.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn