Menentukan Panjang Busur Kurva dengan Pendekatan Riemann
Sekarang coba anda perhatikan gambar di bawah ini,
Akan dihitung panjang busur kurva f(x) pada interval [a,b]. Atau bisa juga jika ingin menghitung interval [C,D].
Untuk menghitungnya maka dibuat garis yang berwarna merah. Sekarang fokus pada interval [C,D]. Di sini, panjang garis yang berwarna merah dan menghubungkan C dan D dimana
$ C(x_{k-1}, y_{k-1}) \, $ ke titik $ D(x_{k}, y_{k}) \, $ dan gunakan rumus jarak antara dua titik.
jarak $ = \sqrt{(x_k - x_{k-1})^2 + (y_k - y_{k-1})^2 } = \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $.
Pendekatan ini dilakukan untuk menghitung busur kurva CD sehingga bisa ditulis,
$ \, = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } $
Dengan mengambil nilai $ \Delta x_k \, $ dan $ \Delta y_k \, $ sedemikian sehingga kecil sekali akan diperoleh n bagian mendekati tak hingga. Ini bisa dirumuskan menjadi,
Panjang busur $ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(\Delta x_k )^2 + ( \Delta y_k )^2 } \, $
atau Jumlah Riemann Panjang busur
$ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ 1 + \left( \frac{\Delta y_k}{\Delta x_k} \right)^2 } \, \Delta x_k = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \, $
Atau
$ \, = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{ \left( \frac{\Delta x_k}{\Delta y_k} \right)^2 + 1 } \, \, \Delta y_k = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $.
Pendekatan untuk menghitung panjang busur kurva di atas agak terlalu susah. Alternatif lain, anda bisa gunakan dengan Integral.
Rumus dan Cara Menghitung Panjang Busur dengan Integral
Akan dihitung panjang busur kurva dari P (a,c) dan Q (b,d). Ada dua pilihan dalam menghitungnya. Anda bisa hitung secara sumbu x atau sumbu y, dimana masing masingnya:
Panjang Kurva Sumbu X
$ \, = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx $
Panjang Kurva Sumbu Y
$ \, = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy $
Rasanya mungkin anda masih bingung. Agar lebih mudah silakan lihat contoh soal dan pembahasan menentukan panjang busur dengan integral berikut ini,
Fungsi dan Turunanya
$ y = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y \rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} $
Menghitung Panjang Busur:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1}{9} + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1+9}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{10}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } \, \, dy \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }y ]_0^6 \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }. 6 ] - [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
$ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $
Untuk menghitung panjang busur (biasanya berupa soal cerita dan ditanyakan panjang lintasan), maka digunakan rumus:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \times \frac{dt}{dt} \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {dt} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {(dt)^2} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 + ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 } {(dt)^2} + \frac{ ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \end{align} $
Agar tahu maksud saya seperti apa perhatikan contoh soal di bawah ini,
Soal 3. Seekor semut berjalan pada lintasan dimana dinyatakan posisi semut tersebut terhadap waktu yaitu: $ x = 3t \, $ dan $ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} $, dengan $ t \, $ dalam detik. Panjang lintasan yang ditempuh semut tersebut dalam waktu 1 detik adalah...
Pembahasan:
$ x = 3t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3 $
$ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} \rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{8}{3} . \frac{3}{2}t^\frac{1}{2} = 4t^\frac{1}{2}$
Rasanya mungkin anda masih bingung. Agar lebih mudah silakan lihat contoh soal dan pembahasan menentukan panjang busur dengan integral berikut ini,
Contoh Soal dan Pembahasan Menghitung panjang Tali Busur Kurva
Soal 1. Hitung lah panjang busur kurva $ 9y^2 = 4x^3 \, $ dari titik $ P(0,0) \, $ ke titik $ Q(3, 2\sqrt{3}) $ ?
Pembahasan:
Pertama - Fungsi diubah bentuknya
$ 9y^2 = 4x^3 \rightarrow y = \sqrt{\frac{4x^3}{9}} = \frac{2}{3} x^\frac{3}{2} $
Kedua - Tentukan turunan fungsi tersebut
$ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} . \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1} = x^\frac{1}{2} $
Ketiga - Menghitung Panjang Busur PQ,
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + \left( x^\frac{1}{2} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 \sqrt{ 1 + x } \, dx \\ & = \int \limits_0^3 ( 1 + x )^\frac{1}{2} \, dx \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + x )^\frac{3}{2} ]_0^3 \\ & = [ \frac{2}{3} ( 1 + 3 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{2}{3} ( 1 + 0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{2}{3} . 8 ] - [ \frac{2}{3} . 1 ] \\ & = \frac{2}{3} . 7 \\ & = \frac{14}{3} \end{align} $
Soal 2. Hitunglah panjang dari busur y=3x dari titik M (0,0) dan N (2,6).
Pembahasan:
Untuk soal ini akan kita lihat menghitung panjang busur berdasarkan sumbu x dan sumbu y.
Untuk Sumbu x,
x [ 0,2]
Turunan:
$ y = 3x \rightarrow \frac{dy}{dx} = 3 $
Panjang Busur:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + \left( 3 \right)^2 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 1 + 9 } \, dx \\ & = \int \limits_0^2 \sqrt{ 10 } \, dx \\ & = [ \sqrt{ 10 } x ]_0^2 \\ & = [ \sqrt{ 10 } .2 ] - [ \sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Sekarang untuk sumbu y, interval y= [0,6]
Fungsi dan Turunanya
$ y = 3x \rightarrow x = \frac{1}{3}y \rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{3} $
Menghitung Panjang Busur:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_c^d \sqrt{ \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1}{9} + 1 } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{1+9}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \sqrt{ \frac{10}{9} } \, \, dy \\ & = \int \limits_0^6 \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } \, \, dy \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }y ]_0^6 \\ & = [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 }. 6 ] - [ \frac{1}{3}\sqrt{ 10 } . 0 ] \\ & = [ 2\sqrt{ 10 } ] - [ 0 ] \\ & = 2\sqrt{ 10 } \end{align} $
Menghitung Panjang Busur Kurva Fungsi parameter
Pengertian fungsi parameter secara sederhana saja yaitu yang memiliki bentuk:$ x = f(t) \, $ dan $ y = g(t) \, $
Untuk menghitung panjang busur (biasanya berupa soal cerita dan ditanyakan panjang lintasan), maka digunakan rumus:
$ \begin{align} \text{Panjang busur } & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } \times \frac{dt}{dt} \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {dt} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \frac{ \sqrt{(d x )^2 + ( dy )^2 } } {(dt)^2} \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 + ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \frac{ (d x )^2 } {(dt)^2} + \frac{ ( dy )^2 } {(dt)^2} } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \end{align} $
Agar tahu maksud saya seperti apa perhatikan contoh soal di bawah ini,
Soal 3. Seekor semut berjalan pada lintasan dimana dinyatakan posisi semut tersebut terhadap waktu yaitu: $ x = 3t \, $ dan $ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} $, dengan $ t \, $ dalam detik. Panjang lintasan yang ditempuh semut tersebut dalam waktu 1 detik adalah...
Pembahasan:
$ x = 3t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 3 $
$ y = \frac{8}{3} t^\frac{3}{2} \rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{8}{3} . \frac{3}{2}t^\frac{1}{2} = 4t^\frac{1}{2}$
Panjang Lintasan:
$ \begin{align} \text{Panjang lintasan } & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( 3 \right)^2 + \left( 4t^\frac{1}{2} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 \sqrt{ 9 + 16t } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 ( 9 + 16t )^\frac{1}{2} \, \, dt \\ & = [ \frac{1}{6} . \frac{2}{3} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.1 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} ( 25 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} . 125 ] - [ \frac{1}{9} . 27 ] \\ & = \frac{1}{9} ( 125 - 27 ) \\ & = \frac{1}{9} ( 98 ) \\ & = \frac{98}{9} \\ & = 10\frac{8}{9} \end{align} $
$ \begin{align} \text{Panjang lintasan } & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_a^b \sqrt{ \left( 3 \right)^2 + \left( 4t^\frac{1}{2} \right)^2 } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 \sqrt{ 9 + 16t } \, \, dt \\ & = \int \limits_0^1 ( 9 + 16t )^\frac{1}{2} \, \, dt \\ & = [ \frac{1}{6} . \frac{2}{3} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16t )^\frac{3}{2} ]_0^1 \\ & = [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.1 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 + 16.0 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} ( 25 )^\frac{3}{2} ] - [ \frac{1}{9} ( 9 )^\frac{3}{2} ] \\ & = [ \frac{1}{9} . 125 ] - [ \frac{1}{9} . 27 ] \\ & = \frac{1}{9} ( 125 - 27 ) \\ & = \frac{1}{9} ( 98 ) \\ & = \frac{98}{9} \\ & = 10\frac{8}{9} \end{align} $
Jadilah Komentator Pertama untuk "Cara Menghitung Panjang Busur dengan Integral"
Post a Comment