Cara Menentukan Persamaan Kurva Menggunakan Integral

martha yunanda integral

Salah satu contoh aplikasi kegunaan integral adalah menentukan persamaan kurva. Lebih lanjut ini digunakan pada berbagai ilmu terapan seperti ekonomi, kedokteran dan lainnya. Misalkan dalam menentukan persamaan kurva keseimbangan permintaan dan penawaran. Dari jejak garis, akan terlihat gradien garis dan bisa dicari persamaan kurva yang dilaluinya. Mungkin lebih luasnya akan dibahas dalam materi ekonomi.

Pembahasan di sini saya batasi sekedar bagaimana menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi/gradien garis yang diketahui dengan menggunakan integral.

Sebagai pengantar awal, anda harus ingat kembali pengertian dan defenisi integral. Integral adalah bentuk anti-turunan dari sebuah fungsi, dimana,
$ \int f(x) dx = F(x) + c \Leftrightarrow \int F^\prime (x) dx = F(x) + c $

Berdasarkan defenisi integral dan turunan di atas, artinya jika diketahui turunan maka untuk mencari F(x) cukup diintegralkan. Secara umum langkah menentukan persamaan kurva atau grafik dengan integral sebagai berikut,

1. Integralkan Fungsi. Perlu diperhatikan apakah yang diberikan turunan pertama, turunan kedua atau turunan ke berapa.
2. Gunakan nilai yang diketahui di soal untuk menentukan nilai konstanta C.
3. Tulis persamaan kurva dengan sempurna.

Agar lebih memudahkan pemahaman anda, silakan diperhatikan contoh soal dan pembahasan tentang bagaimana cara menentukan persamaan kurva dengan menggunakan integral di bawah ini.

Soal 1: Sebuah kurva yang melalui titik A (2, 1), memiliki gradien sebagai berikut $ \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $ , tentukanlaj persamaan kurva tersebut.

Pembahasan:

Gradien=turunan pertama. Artinya  $ y^\prime = \frac{dy}{dx} = 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) $.

Langkah 1: Integralkan Gradien (turunan fungsi)

$ \begin{align} y & = \int y^\prime dx \\ y & = \int 2\left( x - \frac{1}{x^2} \right) dx \\ & = \int 2\left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2\int \left( x - x^{-2} \right) dx \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{-1}x^{-1} \right) + c \\ & = 2 \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{x} \right) + c \\ y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \end{align} $

Langkah 2: Nilai yang diketahui titik A (2,1) Gunakan ini untuk menemukan nilai C.

$ \begin{align} (x,y) = (2,1) \rightarrow y & = x^2 + \frac{2}{x} + c \\ 1 & = 2^2 + \frac{2}{2} + c \\ 1 & = 4 + 1 + c \\ c & = -4 \end{align} $

Langkah 3: Tulis persamaan kurva dengan lengkap: $ y = x^2 + \frac{2}{x} - 4 $.

Soal 2: Diketahui biaya marginal (MC) dalam proses produksi suatu barang (Q) /bulan merupakan merupakan fungsi biaya terhadap banyaknya barang yang diproduksi dinyatakan dalam fungsi $ MC = \frac{dC}{dQ} = 2Q + 3 \, $. JIka Biaya Produksi 1 unitbarang adalah Rp 300.000, maka fungsi biaya total per-bulan adalah... (sumber soal: freemathlearn.tk)

Dimana :

Q = banyak produksi (Quantity),

C = Biaya produksi total (Total Cost),

dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).

Pembahasan:

Fungsi $ MC = \frac{dC}{dQ} = C^\prime (Q) = 2Q + 3 $

Langkah 1: Integralkan fungsi untuk mencari Biaya total $ C(Q) $ :

$ \begin{align} C(Q) & = \int C^\prime (Q) dQ \\ C(Q) & = \int (2Q + 3) dQ \\ C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \end{align} $

Langkah2: Nilai yang diketahui, untuk produksi 1 unit= 3 (dalam ribu) artinya  $ C(1) = 3 $.

Dan kita hitung konstanta

$ \begin{align} C(1) = 3 \rightarrow C(Q) & = Q^2 + 3Q + k \\ C(1) & = 1^2 + 3.1 + k \\ 3 & = 1 + 3 + k \\ k & = 1 \end{align} $

Langkah 3: Menulis Persamaan Fungsi dengan lengkap $ C(Q) = Q^2 + 3Q + 1 $

Soal 3: Sebuah kurva $ y = f(x) \, $ melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya adalah -5 di titik tersebut. Jika $ f^{\prime \prime } (x) = 6x + 4 \, $ , tentukanlah persamaan kurva?

Pembahasan:

Karena diketahui turunan kedua, artinya anda harus mengintegralkan dua kali nantinya. Baca selengkapnya: Cara Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva dengan Turunan

Langkah 1a: $ f^\prime (x) \, $ didapat dari hasil integral $ f^{\prime \prime } (x) $

$ \begin{align} f^\prime (x) & = \int f^{\prime \prime } (x) dx \\ f^\prime (x) & = \int ( 6x + 4 ) (x) dx \\ f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \end{align} $

Langkah 2a. Nilai lain, gradien adalah turunan pertama dimana- 5 sehingga di saat x = 1 , nilainya $ f^\prime (1) = -5 $ Bisa anda cari nilai C

$ \begin{align} f^\prime (1) = - 5 \rightarrow f^\prime (x) & = 3x^2 + 4x + c_1 \\ f^\prime (1) & = 3.1^2 + 4.1 + c_1 \\ -5 & = 3 + 4 + c_1 \\ c_1 & = -12 \end{align} $

Langkah 3a: Menulis Persamaan kurva$ f^\prime (x) = 3x^2 + 4x - 12 $.

 Hingga disini anda baru menemukan turunan pertama. Lanjutkan dengan mencari fungsi dimana akan diintegralkan turunan pertama yang baru saja anda peroleh.

Langkah 1b: Dapatkan $ f(x) \, $ dari hasil integral $ f^\prime (x) $ :

$ \begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x - 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \end{align} $

Langkah 2b: Nilai konstanta, Karena kurva melalui (1,2), artinya $ f(1) = 2 $ :

$ \begin{align} f(1) = 2 \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \\ f(1) & = 1^3 + 2.1^2 - 12.1 + c_2 \\ 2 & = 1 + 2 - 12 + c_2 \\ c_2 & = 11 \end{align} $

Langkah 3b: Persamaan Kurva lengkapnya $ f(x) = x^3 + 2x^2 - 12x + 11 $ .

Intinya langkah nya tetap 3, lakukan pengulangan sampai anda temukan F(x) bergantung turunan keberapa yang diberitahu.

Soal 4: Sebuah mobil bergerak dengan fungsi percepatan $ a(t) = -2t^2 + 3t +1 $, dimana t dalam detik . Tentukanlah fungsi lintasan mobil tersebut jika diketahui $ v_0 = 2 \, $ dan $ s_0 = 1 $.

Pembahasan:

Dalam kinematika gerak fisika berlaku:

S(t) = Perpindahan

V(t)= S'(t)= Kecepatan

a(t)= V'(t)= S"(t)= percepatan

Jika anda perhatikan persamaan ke-tiga di atas. Yang ditanyakan adalah S(t), sementara anda baru memiliki a(t)=S"(t). Untuk itu dari S"(t) ke S(t) anda harus melakukan 2 kali integral seperti soal sebelumnya.

Mencari V(t)=S'(t) integralkan a(t)

 Langkah 1 : Integralkan $ a(t) = -3t^2 + 4t +1 $

$ \begin{align} v(t) & = \int a(t) dt \\ v(t) & = \int ( -3t^2 + 4t +1 ) dt \\ v(t) & = \frac{-3}{2+1}t^3 + \frac{4}{1+1}t^2 + t + c_1 \\ v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \end{align} $

Langkah 2: Diketahui nilai $ v_0 = 2 \, $ atau $ v(0) = 2 $. Bisa anda cari konstanta

$ \begin{align} v(0) = 2 \rightarrow v(t) & = -t^3 + 2t^2 + t + c_1 \\ v(0) & = -0^3 + 2.0^2 + 0 + c_1 \\ 2 & = -0 + 0 + 0 + c_1 \\ c_1 & = 2 \end{align} $

Langkah 3: Persamaan kecepatan lengkap $S'(t)= v(t) = -t^3 + 2t^2 + t + 2 $

Menentukan Perpindahan S(t) anda integralkan V(t) atau S'(t):

Langkah 1: Integralkan V(t)

$ \begin{align} s(t) & = \int v(t) dt \\ s(t) & = \int -t^3 + 2t^2 + t + 2 dt \\ s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \end{align} $

Langkah 2: Diketahui nilai $ s_0 = 1 \, $ atau $ s(0) = 1 $. Bisa anda cari konstanta

$ \begin{align} s(0) = 1 \rightarrow s(t) & = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + c_2 \\ s(0) & = -\frac{1}{4}.0^4 + \frac{2}{3}.0^3 + \frac{1}{2}.0^2 + 2.0 + c_2 \\ 1 & = 0 + 0 + 0 + 0 + c_2 \\ c_2 & = 1 \end{align} $

Langkah 3: Fungsi Lengkap $ s(t) = -\frac{1}{4}t^4 + \frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t + 1 $.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn