Pembahasan di sini saya batasi sekedar bagaimana menentukan persamaan kurva dari sebuah fungsi/gradien garis yang diketahui dengan menggunakan integral.
Sebagai pengantar awal, anda harus ingat kembali pengertian dan defenisi integral. Integral adalah bentuk anti-turunan dari sebuah fungsi, dimana,
∫f(x)dx=F(x)+c⇔∫F′(x)dx=F(x)+c
∫f(x)dx=F(x)+c⇔∫F′(x)dx=F(x)+c
Berdasarkan defenisi integral dan turunan di atas, artinya jika diketahui turunan maka untuk mencari F(x) cukup diintegralkan. Secara umum langkah menentukan persamaan kurva atau grafik dengan integral sebagai berikut,
- Integralkan Fungsi. Perlu diperhatikan apakah yang diberikan turunan pertama, turunan kedua atau turunan ke berapa.
- Gunakan nilai yang diketahui di soal untuk menentukan nilai konstanta C.
- Tulis persamaan kurva dengan sempurna.
Agar lebih memudahkan pemahaman anda, silakan diperhatikan contoh soal dan pembahasan tentang bagaimana cara menentukan persamaan kurva dengan menggunakan integral di bawah ini.
Soal 1: Sebuah kurva yang melalui titik A (2, 1), memiliki gradien sebagai berikut dydx=2(x−1x2) , tentukanlaj persamaan kurva tersebut.
Pembahasan:
Gradien=turunan pertama. Artinya y′=dydx=2(x−1x2).
Langkah 1: Integralkan Gradien (turunan fungsi)
y=∫y′dxy=∫2(x−1x2)dx=∫2(x−x−2)dx=2∫(x−x−2)dx=2(12x2−1−1x−1)+c=2(12x2+1x)+cy=x2+2x+c
Langkah 2: Nilai yang diketahui titik A (2,1) Gunakan ini untuk menemukan nilai C.
(x,y)=(2,1)→y=x2+2x+c1=22+22+c1=4+1+cc=−4
Langkah 3: Tulis persamaan kurva dengan lengkap: y=x2+2x−4.
Soal 2: Diketahui biaya marginal (MC) dalam proses produksi suatu barang (Q) /bulan merupakan merupakan fungsi biaya terhadap banyaknya barang yang diproduksi dinyatakan dalam fungsi MC=dCdQ=2Q+3. JIka Biaya Produksi 1 unitbarang adalah Rp 300.000, maka fungsi biaya total per-bulan adalah... (sumber soal: freemathlearn.tk)
Dimana :
Q = banyak produksi (Quantity),
C = Biaya produksi total (Total Cost),
dan MC = Biaya marginal (Marginal Cost).
Pembahasan:
Fungsi MC=dCdQ=C′(Q)=2Q+3
Langkah 1: Integralkan fungsi untuk mencari Biaya total C(Q) :
C(Q)=∫C′(Q)dQC(Q)=∫(2Q+3)dQC(Q)=Q2+3Q+k
Langkah2: Nilai yang diketahui, untuk produksi 1 unit= 3 (dalam ribu) artinya C(1)=3.
Dan kita hitung konstanta
C(1)=3→C(Q)=Q2+3Q+kC(1)=12+3.1+k3=1+3+kk=1
Langkah 3: Menulis Persamaan Fungsi dengan lengkap C(Q)=Q2+3Q+1
Soal 3: Sebuah kurva y=f(x) melalui titik (1,2) dengan gradien garis singgungnya adalah -5 di titik tersebut. Jika f′′(x)=6x+4 , tentukanlah persamaan kurva?
Pembahasan:
Karena diketahui turunan kedua, artinya anda harus mengintegralkan dua kali nantinya. Baca selengkapnya: Cara Mencari Persamaan Garis Singgung Kurva dengan Turunan
Langkah 1a: f′(x) didapat dari hasil integral f′′(x)
f′(x)=∫f′′(x)dxf′(x)=∫(6x+4)(x)dxf′(x)=3x2+4x+c1
Langkah 2a. Nilai lain, gradien adalah turunan pertama dimana- 5 sehingga di saat x = 1 , nilainya f′(1)=−5 Bisa anda cari nilai C
f′(1)=−5→f′(x)=3x2+4x+c1f′(1)=3.12+4.1+c1−5=3+4+c1c1=−12
Langkah 3a: Menulis Persamaan kurvaf′(x)=3x2+4x−12.
Hingga disini anda baru menemukan turunan pertama. Lanjutkan dengan mencari fungsi dimana akan diintegralkan turunan pertama yang baru saja anda peroleh.
Langkah 1b: Dapatkan f(x) dari hasil integral f′(x) :
$ \begin{align} f(x) & = \int f^{\prime } (x) dx \\ f(x) & = \int (3x^2 + 4x - 12) dx \\ f(x) & = x^3 + 2x^2 - 12x + c_2 \end{align} $
Langkah 2b: Nilai konstanta, Karena kurva melalui (1,2), artinya f(1)=2 :
f(1)=2→f(x)=x3+2x2−12x+c2f(1)=13+2.12−12.1+c22=1+2−12+c2c2=11
Langkah 3b: Persamaan Kurva lengkapnya f(x)=x3+2x2−12x+11 .
Intinya langkah nya tetap 3, lakukan pengulangan sampai anda temukan F(x) bergantung turunan keberapa yang diberitahu.
Soal 4: Sebuah mobil bergerak dengan fungsi percepatan a(t)=−2t2+3t+1, dimana t dalam detik . Tentukanlah fungsi lintasan mobil tersebut jika diketahui v0=2 dan s0=1.

Pembahasan:
Dalam kinematika gerak fisika berlaku:
S(t) = Perpindahan
V(t)= S'(t)= Kecepatan
a(t)= V'(t)= S"(t)= percepatan
Jika anda perhatikan persamaan ke-tiga di atas. Yang ditanyakan adalah S(t), sementara anda baru memiliki a(t)=S"(t). Untuk itu dari S"(t) ke S(t) anda harus melakukan 2 kali integral seperti soal sebelumnya.
Mencari V(t)=S'(t) integralkan a(t)
Langkah 1 : Integralkan a(t)=−3t2+4t+1
v(t)=∫a(t)dtv(t)=∫(−3t2+4t+1)dtv(t)=−32+1t3+41+1t2+t+c1v(t)=−t3+2t2+t+c1
Langkah 2: Diketahui nilai v0=2 atau v(0)=2. Bisa anda cari konstanta
v(0)=2→v(t)=−t3+2t2+t+c1v(0)=−03+2.02+0+c12=−0+0+0+c1c1=2
Langkah 3: Persamaan kecepatan lengkap S′(t)=v(t)=−t3+2t2+t+2
Menentukan Perpindahan S(t) anda integralkan V(t) atau S'(t):
Langkah 1: Integralkan V(t)
s(t)=∫v(t)dts(t)=∫−t3+2t2+t+2dts(t)=−14t4+23t3+12t2+2t+c2
Langkah 2: Diketahui nilai s0=1 atau s(0)=1. Bisa anda cari konstanta
s(0)=1→s(t)=−14t4+23t3+12t2+2t+c2s(0)=−14.04+23.03+12.02+2.0+c21=0+0+0+0+c2c2=1
Langkah 3: Fungsi Lengkap s(t)=−14t4+23t3+12t2+2t+1.
Jadilah Komentator Pertama untuk "Cara Menentukan Persamaan Kurva Menggunakan Integral"
Post a Comment