Cara Menyelesaikan Integral dengan Teknik Substitusi

martha yunanda integral

Arti dari subtitusi adalah menganti atau pergantian (subtitution). Pada konteks penyelesaian soal soal integral dengan metode subtitusi ini maksudnya variabel dari soal akan diganti. Lebih tepatnya diberi sebuah permisalan.

Sebagai contoh, akan diintegralkan  $ \int [f(x)]^n g(x) dx \, $ maka dilakukan langkah sebagai berikut:

1. Misalkan $ u = f(x) \, , $ 

2. Turunakan u $ \frac{du}{dx} = f^\prime (x) \rightarrow dx = \frac{du}{u^\prime} \, $ atau $ \, dx = \frac{du}{f^\prime (x) } $ .

3. Soal diubah semua dalam bentuk u dan integralkan seperti biasanya. $ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{u^\prime } \, $ atau $ \int [f(x)]^n g(x) dx = \int [u]^n g(x) \frac{du}{ f^\prime (x) } $

Perlu diperhatikan, tidak semua soal bisa diselesaikan dengan teknik subtitusi. Ciri Ciri soal yang bisa diselesaikan dengan metode ini adalah selisih pangkat tertinggi variabel x pada f(x) dan g(x) adalah 1. Atau salah satunya merupakan kelipatan turunan dari yang lainnya. Jika anda sulit memahami kalimat terakhir ini, maka perhatikan contoh soal dan pembahasan integral subtitusi di bawah ini.

Soal 1. Hasil dari : $ \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx $ ?

Pembahasan:

Langkah 1. Misalkan $ u = 4x^2 + 5 $

Langkah 2. Turunan u:

$ \frac{du}{dx} = 8x \rightarrow dx = \frac{du}{8x} $

Langkah 3. Semua Diubah dalam variabel u dan integralkan.

$ \begin{align} \int 2x (4x^2 + 5)^{15} dx & = \int 2x (u)^{15} \frac{du}{8x} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int (u)^{15} \frac{du}{4} \\ & = \frac{1}{4} \int (u)^{15} du \\ & = \frac{1}{4} . \frac{1}{16} u^{16} + c \\ & = \frac{1}{64} u^{16} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \frac{1}{64} (4x^2 + 5)^{16} + c \end{align} $

Soal 2. Hasil dari integral: $ \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 7}} dx $ ?

Pembahasan:

Langkah 1. Misalkan $ u = 3x^2 - 2x + 7 $

Langkah 2 Turunan u:

$\frac{du}{dx} = 6x - 2 = 2(3x - 1) \\  dx=\frac {du}{2(3x-1)}$ $

Langkah 3. Semua diubah dalam variabel u dan integralkan.

$ \begin{align} \int \frac{3x-1}{\sqrt{3x^2 - 2x + 7}} dx & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int \frac{3x-1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2(3x - 1) } \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{du}{2 } \\ & = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} u^{-\frac{1}{2} + 1} + c \\ & = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{1}{2} } u^{\frac{1}{2} } + c \\ & = \frac{1}{2} .2 \sqrt{u} + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = \sqrt{3x^2 - 2x + 7} + c \end{align} $

Soal 3. Hasil dari: $ \int 6x^2 \sin 3x^3 dx $ ?

Pembahasan:

Langkah 1. Misalkan $ u = 3x^3 $

Langkah 2. Turunan u: 

$ \frac{du}{dx} = 9x^2 \rightarrow dx=\frac {du}{9x^2}$

Langkah 3. Ubah semua dalam u dan integralkan.

$ \begin{align} \int 6x^2 \sin 3x^3 dx & = \int 6x^2 \sin u \frac{du}{u^\prime} \\ & = \int 6x^2 \sin u   \frac{du}{9x^2} \, \, \, \, \, \text{(sederhanakan)} \\ & = \int 2 \sin u \frac{du}{3} \\ & = \frac{2}{3} \int \sin u du \\ & = \frac{2}{3} (-\cos u) + c \, \, \, \, \, \text{(kembalikan bentuk } u) \\ & = -\frac{2}{3} \cos 3x^3 + c \end{align} $

Biar Mudah untuk Beberapa Soal:

1) Untuk $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dimana $ n \neq -1 $

misalkan : $ u = ax + b \rightarrow \frac {du}{dx}=a $

$ \begin{align} \int k(ax+b)^n dx & = \int k(ax+b)^n dx \\ & = \int k(u)^n \frac{du}{a} \\ & = \frac{k}{a} \int (u)^n du \\ & = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c \end{align} $

Anda bisa gunakan rumus berikut secara langsung:

$ \int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \frac{1}{n+1} (ax+b)^{n+1} + c $

Contoh $ \int 4(2x-5)^{31} dx $

$ \begin{align} \int 4(2x-5)^{31} dx & = \frac{k}{a} . \frac{1}{n+ 1} (ax+b)^{n+1} + c \\ & = \frac{4}{2} . \frac{1}{31+ 1} (2x-5)^{31+1} + c \\ & = 2.\frac{1}{32} (2x-5)^{32} + c \\ & = \frac{1}{16} (2x-5)^{32} + c \end{align} $

2) Untuk $ \int k(ax+b)^n dx \, $ dimana $ n = -1 $

Misalkan: $ u = ax + b \rightarrow \frac {du}{dx} = a $

$ \begin{align} \int k(ax+b)^{-1} dx & = \int \frac{k}{ax+b} dx \\ & = \int \frac{k}{u} \frac{du}{a}   \\ & = \frac{k}{a} \int \frac{1}{u} du \\ & = \frac{k}{a} \ln (u) + c \\ & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \end{align} $

Anda bisa langsung gunakan rumus:

$ \int k(ax+b)^{-1} dx = \int \frac{k}{ax+b} dx = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c $.

Contoh $ \int \frac{3}{2x-5} dx $

$ \begin{align} \int \frac{3}{2x-5} dx & = \frac{k}{a} \ln (ax+b) + c \\ & = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c \end{align} $

 $ \int \frac{3}{2x-5} dx = \frac{3}{2} \ln (2x-5) + c $ 

Baca juga: Cara Menghitung Panjang Busur dengan Integral

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn