Materi dan Soal, Pembahasan tentang Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

martha yunanda integral

Mengenai apa itu integral atau pengertian integral anda bisa baca pada bagian halaman: Integral itu Apa sih Sebenarnya? Pada halaman ini saya akan uraikan dengan singkat tentang integral tak tentu.

Defenisi integral tak tentu sebagai berikut,

Asumsikan fungsi f(x) merupakan turunan dari F(x)+C maka bisa ditulis  $ \int f(x) dx = F(x) + c $. Adapun rumus integral tak tentu fungsi aljabar secara umum sebagai berikut.

 $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $

Dimana a≠0 dan n≠-1 , a, n ε Bilangan Real. Darimanakah rumus integral tersebut? Kembali anda harus ingat bahwasanya integral adalah antiturunan. Coba perhatikan pembuktian rumus integral di atas berikut ini,
Akan dibuktikan $ \int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{a}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = ax^n \end{align} $
Terbukti bahwa $ \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) = ax^n $ .
Sementara itu, untuk pengecualian pangkat (n) = -1. Maka berlaku:

$ \int ax^{-1} dx = \int \frac{a}{x} dx = a \ln x + c $

dimana  $ \ln x \, $ dibaca "len $ x $" yang sama dengan fungsi logaritma dengan basis $ e = 2,718... $ Pembuktian dari rumus integral dengan pangkat -1 tersebut sebagai berikut,

Contoh Soal dan Penyelesaian Integral Tak Tentu Aljabar

Gunakan Rumus Integral tak tentu
$ \begin{align} a^{m+n} = a^m.a^n, \, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \end{align} \, $ dan $ \begin{align} \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \end{align} $

Soal 1. $ \int x^4 dx $
$ \int x^4 dx , \, $ nilai $ n = 4 $
$ \int x^3 dx = \frac{1}{4+1}x^{4+1} + c = \frac{1}{5}x^5 + c $.
Soal 2. $ \int \frac{3}{x} dx $ (gunakan pengecualian unutuk pangkat -1.
$ \int \frac{3}{x} dx , \, $ artinya $ n = -1 $
$ \int \frac{3}{x} dx = \int 3x^{-1} dx = 3 \ln x + c $
Soal 3. $ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx $
$ \int 5\sqrt[3]{x^2} dx = \int 5 x^\frac{2}{3} dx , \, $ artinya $ n = \frac{2}{3} $
$ \begin{align} \int 5\sqrt[3]{x^2} dx & = \int 5 x^\frac{2}{3} dx \\ & = \frac{5}{\frac{2}{3} + 1} x^{\frac{2}{3} + 1} + c \\ & = \frac{5}{\frac{5}{3} } x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 5 . \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{1 + \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x^1.x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c \end{align} $
Akan dibuktikan: $ \int \frac{a}{x} dx = a\ln x + c $
$ \begin{align} \frac{d}{dx} \left( a\ln x + c \right) & = a . \frac{1}{x} = \frac{a}{x} \end{align} $
Terbukti bahwasanya $ \frac{d}{dx} \left( \ln x + c \right) = \frac{a}{x} $ .
Berikutnya silakan baca juga: Sifat Sifat Integral tak Tentu Beserta Contoh Soal.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn