Materi dan Soal, Pembahasan tentang Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar

martha yunanda integral

Contoh soal dan pembahasan integral tak tentu

Mengenai apa itu integral atau pengertian integral anda bisa baca pada bagian halaman: Integral itu Apa sih Sebenarnya? Pada halaman ini saya akan uraikan dengan singkat tentang integral tak tentu.

Defenisi integral tak tentu sebagai berikut,

Asumsikan fungsi f(x) merupakan turunan dari F(x)+C maka bisa ditulis

$\int f(x) dx = F(x) + c$ . Adapun rumus integral tak tentu fungsi aljabar secara umum sebagai berikut.

$\int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c$

Dimana a≠0 dan n≠-1 , a, n ε Bilangan Real. Darimanakah rumus integral tersebut? Kembali anda harus ingat bahwasanya integral adalah antiturunan. Coba perhatikan pembuktian rumus integral di atas berikut ini,
Akan dibuktikan

$\int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c$

$\begin{align} \frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) & = (n+1) . \frac{a}{n+1}x^{(n+1) -1 } \\ & = ax^n \end{align}$
Terbukti bahwa

$\frac{d}{dx} \left( \frac{a}{n+1}x^{n+1} + c \right) = ax^n$ .
Sementara itu, untuk pengecualian pangkat (n) = -1. Maka berlaku:

$\int ax^{-1} dx = \int \frac{a}{x} dx = a \ln x + c$

dimana

$\ln x \,$ dibaca "len

$x$ " yang sama dengan fungsi logaritma dengan basis

$e = 2,718...$ Pembuktian dari rumus integral dengan pangkat -1 tersebut sebagai berikut,

Contoh Soal dan Penyelesaian Integral Tak Tentu Aljabar

Gunakan Rumus Integral tak tentu

$\begin{align} a^{m+n} = a^m.a^n, \, \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \end{align} \,$ dan

$\begin{align} \, \sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n} \end{align}$

Soal 1.

$\int x^4 dx$

$\int x^4 dx , \,$ nilai

$n = 4$

$\int x^3 dx = \frac{1}{4+1}x^{4+1} + c = \frac{1}{5}x^5 + c$ .
Soal 2.

$\int \frac{3}{x} dx$ (gunakan pengecualian unutuk pangkat -1.

$\int \frac{3}{x} dx , \,$ artinya

$n = -1$

$\int \frac{3}{x} dx = \int 3x^{-1} dx = 3 \ln x + c$
Soal 3.

$\int 5\sqrt[3]{x^2} dx$

$\int 5\sqrt[3]{x^2} dx = \int 5 x^\frac{2}{3} dx , \,$ artinya

$n = \frac{2}{3}$

$\begin{align} \int 5\sqrt[3]{x^2} dx & = \int 5 x^\frac{2}{3} dx \\ & = \frac{5}{\frac{2}{3} + 1} x^{\frac{2}{3} + 1} + c \\ & = \frac{5}{\frac{5}{3} } x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 5 . \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{\frac{5}{3} } + c \\ & = 3 x^{1 + \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x^1.x^{ \frac{2}{3} } + c \\ & = 3 x\sqrt[3]{x^2} + c \end{align}$
Akan dibuktikan: