Contoh Soal dan Pembahasan Limit e

martha yunanda contoh soal, limit

Salah satu permasalahan dalam limit adalah mengenai limit e. Untuk rumus dasar limit e bisa berikut ini,
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n=e$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1- \frac{1}{n} \right )^{-n}=e$
$\lim_{x\rightarrow 0} \left ( 1+ n \right )^{ \frac{1}{n} }=e$

Inti dari penyelesaian soal dengan limit e tersebut adalah membuat bentuk umum menjadi bentuk e tersebut. Untuk lebih memudahkan pemahaman, coba perhatikan contoh soal dan pembahasan tentang limit e ini.

1)Tentukan nilai dari $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^x$ !
Jika diperhatikan ini formatnya hampir sama dengan rumus pertama dimana n=2x, namun untuk pangkan belum sama dengan bagian pecahan $\frac {1} {2x}$. Untuk itu kita akan ubah pangkat tersebut menjadi n atau 2x. tetapi tanpa merubah nilai, perhatikan penyelesaiannya

$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^{2x. \frac {1}{2}}$
$(\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^{2x}) ^ \frac {1}{2}$
Karena nilai dari $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( 1+ \frac{1}{2x} \right )^{2x} =e$
$e^ {\frac {1} {2}}$

2. Tentukan limit dari : $\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac{1+x}{x-1} \right )^{6x}$
Untuk menyelesaikan ini jadikan dalam bentuk umum seperti rumus di atas,

$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac {1+x}{x-1} \right )^{6x}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac {1+x-1+1}{x-1} \right )^{6x}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left ( \frac {x-1+2}{x-1} \right )^{6x}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (1+ \frac {2}{x-1} \right )^{6x}$
$\lim_{x\rightarrow \infty} ( 1+ \frac {1}{ \frac {x-1}{2}} ) ^{6x}$

Jadi n kita disini adalah $\frac { x-1}{2}$

Untuk pangkat langsung kita kalikan dengan n/n sehingga diperoleh :
$6x  \frac { \frac { x-1}{2}} { \frac { x-1}{2}}$

Ambil sebuah $\frac { x-1}{2}$ untuk membuat fungsi menjadi e.
$\lim_{x\rightarrow \infty} \left (1+ \frac {1}{ \frac {x-1}{2}} \right )^{ \frac {x-1}{2}} = e$

Lalu untuk sisa pangkat $\frac {6x}{ \frac {(x-1)}{2}}$ ,
 dicari dengan nilai limit tak hingga.
$\lim_ {x\rightarrow \infty} \frac {6x}{ \frac {x-1}{2}} = 12$
Jadi hasil akhirnya $e^{12}$.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn