Contoh Aplikasi Ekponen: Pertumbuhan

martha yunanda Eksponen

Pengertian pertumbuhan secara sederhana adalah perubahan jumlah yang mana makin lama makin meningkat. Artinya dari suatu patokan waktu ke waktu berikutnya terjadi peningkatan kuantitas. Dalam menghitung pertumbuhan ini, bisa digunakan salah satunya eksponen.

Untuk pertumbuhan dangkalnya, biasa digunakan rumus rumus barisan aritmatika dan geometri seperti,

Barisan dan deret aritmatika,

$ u_n = a + (n-1)b \, $ dan $ \, s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) $

Barisan dan deret geometri,

$ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ \, s_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1} $

Keterangan :

$ a = \, $ suku pertama.

$ b = \, $ beda = $ u_2 - u_1 = u_3 - u_2 = ...= u_n - u_{n-1}$ .

$ r = \, $ rasio = $ \frac{u_2}{u_1} = \frac{u_3}{u_2} = ... = \frac{u_n}{u_{n-1}} $

Contoh Soal Sederhana tentang Pertumbuhan dengan deret Artimatika/Geometri,

10 haru Menjelang Hari raya Idul Fitri sebuah tempat penitipan kucing ramai. Bila pada hari ke-2 terdapat 4 kucing dititipkan, sementara pada hari ke-6 ada 16 kucing yang dititipkan. Tentukan,

1. Jumlah kucing dihari ke-10
2. Banyak kucing yang dititipkan setiap hari
3. Total kucing yang dititipkan selama 10 hari.

Penyelesaian:

Peningkatan selalu tetap, maka pertumbuhan ini mengikuti aturan barisan dan deret aritmatika dimana

 $ u_2 = 4 \, $ dan $ u_6 = 16 $.

Nilai $ a \, $ dan $ b \, $ dapat dihitung

$ u_2 = 4 \rightarrow a + b = 4 \, $ ....pers(i)

$ u_6 = 16 \rightarrow a + 5b = 16 \, $ ....pers(ii)

Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :

$ \begin{array}{cc} a + 5b = 16 & \\ a + b = 4 & - \\ \hline 4b = 12 & \\ b = 3 & \end{array} $

pers(i) : $ a + b = 4 \rightarrow a + 3 = 4 \rightarrow a = 1 $.

Soal 1.

Kucing yang dititipkan pada hari kesepeluh ($u_{10}$).

$ u_{10} = a + 9b = 1 + 9 \times 3 = 1 + 27 = 28 \, $ ekor kucing. .

Soal 2.

hari pertama = 1 ,

hari kedua = 1 + 3 = 4 ekor kucing,

hari ke-3 = 4 + 3 = 7 ekor kucing,

hari ke-4 = 7 + 3 = 10 ekor kucing,

hari ke-5 = 10 + 3 = 13 ekor kucing,

hari ke-6 = 13 + 3 = 16 ekor kucing,

hari ke-7 = 16 + 3 = 19 ekor kucing,

hari ke-8 = 19 + 3 = 22 ekor kucing,

hari ke-9 = 22 + 3 = 25 ekor kucing,

hari ke-10 = 25 + 3 = 28 ekor kucing

Soal 3.

Total kucing yang dititipkan selama 10 hari ($s_{10}$).

$ \begin{align} s_n & = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b) \\ s_{10} & = \frac{10}{2}(2a + (10-1)b) \\ & = 5(2a + (9)b) \\ & = 5(2 \times 1 + 9 \times 3) \\ & = 5(2 + 27) \\ & = 5 \times (29) \\ & = 145 \end{align} $

Pertumbuhan dan Eksponen

Jika pertumbuhan berupa kelipatan (dibanding perioda) sebelumnya, bisa dipastikan ini menggunakan deret geometri. Asumsikan peningkatan penduduk tersebut i % dan banyak penduduk awal adalah $A_o$. Maka hingga pada tahun/periode ke-n dapat dijabarkan,

 pada pertama ($A_1$):

$ A_1 = A_0 + i \times A_0 = A_0(1 + i) $

pada kedua ($A_2$):

$ A_2 = A_1 + i \times A_1 = A_1(1 + i) = A_0(1 + i)(1+i) = A_0(1+i)^2 $

pada ke-3 ($A_3$):

$ A_3 = A_2 + i \times A_2 = A_2(1 + i) = A_0(1 + i)^2(1+i) = A_0(1+i)^3 $

sampai

pada ke-$n$ ($A_n$):

$ A_n = A_{n-1} + i \times A_{n-1} = A_{n-1}(1 + i) = A_0(1 + i)^{n-1}(1+i) = A_0(1+i)^n $

Bentuk umum $ A_n = A_0 (1 + i)^n \, $ serupa dengan barisan geometri dimana $ u_n = ar^{n-1} \, $ dan $ r = 1 + i $. Perbedaannya dipangkat, sebab hal ini terjadi karena pada kasus pertumbuhan kita langsung menghitung dari suku kedua (pada pertama).

Rumus Pertumbuhan 

Dari uraian di atas bisa disimpulkan rumus untuk menghitung pertumbuhan adalah:

Bila diketahui dalam bentuk persentase

$ A_n = A_0(1+i)^n $

Bila diketahui berupa rasio atau kelipatan

$A_n = A_0(r)^n $ dengan syarat $ r > 1 $

Dengan
$A_0 = \, $ jumlah awal
$A_n = \, $ jumlah setelah tahun ke-n atau periode ke-n
$i = \, $ persentase kenaikan/pertumbuhan
$r = \, $ kelipatan kenaikan/pertumbuhan(rasio)

Contoh Soal Pertumbuhan dalam Matematika

Soal 1. 

Suatu jenis bakteri dapat membelah diri menjadi 2 dalam waktu 2 jam. Diketahui pada kondisi awal terdapat 1.000 bakteri. Berapa banyak bakteri setelah 20 jam?

Pembahasan:

Dik: $A_0 = 1.000 \, $ dan $ r = 2 $

Pembelahan terjadi setiap 2 jam, sehingga selama 20 jam terjadi 10 kali pembelahan.

Banyak bakteri setelah 20 jam ($A_{10}$) :

$ \begin{align} A_n & = A_0(r)^n \\ A_{10} & = 1 .000 \times (2)^{10} \\ & = 1 .000 \times 1.024 \\   & = 1.024.000 \end{align} $

Jadi terdapat 1.024.000 bakteri setelah 20 jam

Soal 2:

Penduduk kota Linlin setiap tahun meningkat sekitar 1% dari banyak penduduk tahun sebelumnya. Berdasar sensus penduduk di tahun 2009, penduduk kota tersebut tercatat 100.000 orang. Berapa banyak penduduk pada tahun 2010 dan tahun 2020?

Pembahasan

Dik: $A_0 = 100.000 $ dan $ i = 1\% = 0,01 $

Banyak penduduk pada tahun 2010 :

Tahun 2010, 1 tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 1 $

Penduduk tahun 2010 = $ A_1 $

$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_1 & = 100.000 \times (1+0,01)^1 \\ & = 100.000 \times (1 ,01) \\ & = 101.000 \end{align} $

Jadi tahun 2010 ada 101.000 jiwa penduduk.

Banyak penduduk pada tahun 2020 :

Tahun 2020, 11 tahun setelah tahun 2009, sehingga $ n = 11 $

Penduduk tahun 2020 = $ A_{11} $

$ \begin{align} A_n & = A_0(1+i)^n \\ A_{11} & = 100.000 \times (1+0,01)^{11} \\ & = 100.000 \times (1 ,01)^{11} \\ & = 100.000 \times 1,115668347 \\ & = 111.566,8347 \\ & = 111.567 \, \, \, \, \, \, \text{(pembulatan ke atas)} \end{align} $

Jadi pada tahun 2020 terdapat 111.567 jiwa penduduk

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn