Bilangan Rasional dan Irrasional Beserta Contohnya

martha yunanda bilangan

Sistem bilangan terbagi menjadi dua jenis, yaitu bilangan real dan bilangan imajiner. Kesatuan bilangan real dan imajiner dinamakan dengan bilangan kompleks. Namun pada halaman ini akan diuraikan mengenai bilangan real.

Bilangan real dibagi menjadi 2 macam yaitu,

1. Bilangan rasional
2. Bilangan Irrasional

Berikut mengenai penjelasan masing masing bilangan di atas.

Defenisi Bilangan Rasional & Irrasional

Pengertian bilangan rasional bisa dijelaskan sebagai berikut, suatu bilangan dapat diubah ke dalam format pecahan $ \frac {a}{b}$ dimana a dan b adalah bilangan bulat.

Pengertian bilangan irrasional aalah bilangan yang tak bisa diubah dalambentuk pecahan $ \frac {a}{b}$ dengan a dan b bilangan bulat.  Silakan perhatikan contoh bilangan rasional dan irrasional di bawah ini.

Contoh Bilangan Rasional

5, termasuk bilangan rasional. Karena bisa dibentuk dalam bentuk pecahan $\frac {a}{b} $ yaitunya a = 5 , b=1 atau a=10 dan b=2.

$ \frac {3}{7}$ termasuk bilangan rasional karena untuk a =3 dan b=7.Ingat syarat utama, pembilang dan penyebut adalah bilangan bulat.

0,6 termasuk bilangan rasional karena bisa anda bentuk menjadi $ \frac {6}{10}$ atau $ \frac {3}{5}$. 

Semua bentuk desimal terbatas dan bentuk desimal tak hingga yang angkanya berulang termasuk bilangan rasional. Contoh:

1. 1,23565656565656.....
2. 3,14

Lalu bedakan dengan contoh di bawah ini yang termasuk bilangan irrasional.

Contoh Bilangan Irrasional

Contoh bilangan irrasional adalah bilangan desimal tak hingga dengan tidak ada pengulangan angka. Sebagai contoh,

• 3,412678352678....
• 12,345678926367.....

Contoh bilangan irrasional yang lain adalah akar atau logaritma atau trigonometri dari suatu bilangan yang mana hasilnya bukan bilangan bulat.

• $ \sqrt 3$
• $ \log 5$
• $  \sin 39$

Sementara itu untuk $\sqrt 16$ , $\log 10$ dan $ \sin 30^o$ termasuk bilangan rasional. tentu sesuai pengertian bilangan rasional di atas anda tahu alasannya kenapa.

Kenapa Bilangan Desimal Berulang tak hingga termasuk Rasional?

Pertanyaan di atas akan dibuktikan kenapa bilangan desimal yang berulang (tak hingga) termasuk bilangan rasional atau dengan kata lain bagaimana mengubah bilangan desimal ke dalam bentuk pecahan $ \frac {a}{b}$ dengan a dan b adalah bilangan bulat.

Contoh 1:

$0,\overline{x} = 0,xxxxx.... = \frac{x}{9} $

Bukti,

Misal $ x = 0,xxxxx... $

$\begin{array}{cccc} 10y & = & x, xxxxx... & \\ y & = & 0, xxxxx... & - \\ \hline 9y & = x & & \\ y & = \frac{x}{9} & & \end{array} $ 

(x adalah sebuah angka yang berulang dengan x bilangan bulat)

Contoh 2:

$0,\overline{ab} = 0,ababababab.... = \frac{ab}{99} $

Bukti,

Misal $ x = 0,ababababab... $

$\begin{array}{cccc} 100x & = & ab,abababab... & \\ x & = & 0, ababababab... & - \\ \hline 99x & = ab & & \\ x & = \frac{ab}{99} & & \end{array} $

Contoh 3:

$0,\overline{abc} = 0,abcabcabcabcabc.... = \frac{abc}{999} $

Bukti

Misal $ x = 0,abcabcabcabcabc... $

$\begin{array}{cccc} 1000x & = & abc,abcabcabcabc... & \\ x & = & 0, abcabcabcabcabc... & - \\ \hline 999x & = abc & & \\ x & = \frac{abc}{999} & & \end{array} $

Dari beberapa contoh di atas, bisa disimpulkan bahwa angka 9 sebanyak angka yang diulang. Perhatikan beberapa contoh di bawah ini yang memiliki angka,

$ 0,\overline{5} = 0,55555.... = \frac{5}{9} $

$ 2,\overline{3} = 2+ 0,\overline{3} = 2 + 0,33333.... = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3} $

$ 0,\overline{37} = 0,373737.... = \frac{37}{99} $

$ 0,\overline{215} = 0,215215215.... = \frac{215}{999} $

 $ 0,\overline{1234} = 0,123412341234.... = \frac{1234}{9999} $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn