Contoh Soal SBMPTN dan Pembahasan Invers Matriks

martha yunanda contoh soal, matriks

Untuk contoh soal dan pembahasan kali ini kita akan lihat tentang invers matriks dan aplikasi invers matriks pada penyelesaian soal-soal. Semoga dengan contoh soal dan pembahasan ini bisa membuat anda lebih paham dengan dalam tentang matriks. Untuk menyelesaikan dan memahami soal soal ini anda harus memastikan telah mengenal bagaimana cara mencari invers matriks, bagaimana menghitung transpos matriks.

Soal 1. Jika matriks di bawah ini adalah matriks singular. Hasil kali semua nilai x dari matriks ini adalah... $$\begin{pmatrix} x^2+2x &x-10 \\ x+2 & x-6 \end{pmatrix}$$

Pembahasan:
Pengertian matriks singular adalah matriks yang determinannya 0. Oleh sebab itu kita bisa tulis,$$\begin{vmatrix} x^2+2x &x-10 \\ x+2 & x-6 \end{vmatrix} = 0 $$
Selanjutnya kita selesaikan:
(x²+2x)(x-6) - (x+2)(x-10)=0
x(x+2)(x-6)-(x-2)(x-10)=0 , Faktorkan (x+2)
(x+2) [ x(x-6)-(x-10)]=0
(x+2)[ x²-6x-x+10]=0
(x+2)[x-7x+10]=0
(x+2) (x-2)(x-5)=0
x = -2 ; x=2 ; x=5
Perkalian nilai x : (-2)(2)(5)=-20.

Soal 2. Jika Matriks $$A=\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$ Maka nilai dari A+A^-1+ A² adalah....

Pembahasan:
Kita cari masing masing A² ,A^-1 . $$A^2=\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ A^2= \begin{pmatrix} 14 &25 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ A^{-1} = \frac {1}{2.3-1.5}\begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \\ A^{-1}= \begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \\ A+A^{-1}+A^2 =\begin{pmatrix} 3 &5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 2 &-5 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 14 &25 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 19 &25 \\ 5 & 14 \end{pmatrix}$$

Soal 3. Jika C^T menyatakan transpos matriks C, maka determinan dari AC+ B^-1 =... $$A=\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 5 &2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ C^T=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$$
Pembahasan:
$$C^T=\begin{pmatrix} 2 &1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \\ C=\begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ AC =\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \\ AC=\begin{pmatrix} 7 &-8 \\ 7 & -2 \end{pmatrix} \\ B^{-1} = \frac {1}{5.1-2.2} \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ AC+B^{-1}=\begin{pmatrix} 7 &-8 \\ 7 & -2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 &-2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} \\ AC+B^{-1}= \begin{pmatrix} 8 &-10 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} 8 &-10 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} =8.3-5.-10=74$$
Soal 4. Matriks A dan B memenuhi AB=I, dimana I adalah matriks Identitas, Jika diketahui $$A=\begin{pmatrix} 5 &-3\\ 4 & -2 \end{pmatrix} $$ Maka Matriks B adalah...

Pembahasan:
AB=I, artinya B adalah invers dari matriks A. Bisa kita tulis, $$A=\begin{pmatrix} 5 &-3\\ 4 & -2 \end{pmatrix} \\ B= A^{-1}= \frac {1}{5.-2-4.-3} \begin{pmatrix} -2 &3\\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} -1 & \frac {3}{2}\\ -2 & -\frac {5}{2} \end{pmatrix}$$
Soal 4. Matriks P yang memenuhi persamaan: $$P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} $$
Pembahasan: $$P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \\ P \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix}^{-1} =\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 &7\\ 8 &9 \end{pmatrix}^{-1} \\ PI=\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix} \frac {1}{6.9-7.8}\begin{pmatrix} 9 &-7 \\-8 &6\end{pmatrix} \\ P= -\frac {1}{2}\begin{pmatrix} 2 &3 \\4 &5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 9 &-7 \\-8 &6\end{pmatrix} \\ P= -\frac {1}{2}\begin{pmatrix} -6 &4 \\-4 &2\end{pmatrix} \\ P= \begin{pmatrix} -3 &2 \\2 &-1\end{pmatrix} $$
Soal 5. Matriks X yang memenuhi AX=B^T dimana, $$A= \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} \\ B =\begin{pmatrix} 6 &4 \\3 &1\end{pmatrix} $$

Pembahasan: $$A= \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} \\ B =\begin{pmatrix} 6 &4 \\3 &1\end{pmatrix} \\ B^T =\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ AX=B^T \\ \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} X=\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 2 &3\\ 4 &5 \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ IX = \frac {1}{-2}\begin{pmatrix} 5 &-3\\ -4 &2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 &3 \\4 &1\end{pmatrix} \\ X=\begin{pmatrix} 9 &6 \\-8 &-5\end{pmatrix}$$

Soal 6. Jika $$B= \begin{pmatrix} 3 &-1\\ -2 &1 \end{pmatrix} \\ (BA^{-1})^{-1} =\begin{pmatrix} 2 &1 \\4 &3\end{pmatrix} $$ Maka matriks A adalah...

Pembahasan:
Anda harus ingat rumus: $$ (M^{-1})^{-1} = M \\ (MY)^{-1}=Y^{-1}M^{-1}$$
Mari kita selesaikan,