Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri dan Contoh Soal

martha yunanda trigonometri

Rumus Jumlah dan pengurangan dari trigonometri yang berlaku sebagai berikut,

Darimanakah asal rumus penjumlahan dan pengurangan trigonometri tersebut? Penurunan rumus tersebut didapatkan dari Rumus Perkalian trigonometri.

Sebelumnya kita ambil permisalan: A+B = P dan A-B = Q . Dari permisalan tersebut kita akan dapatkan :

$A = \frac{1}{2}(P+Q) \\ B = \frac{1}{2}(P-Q)$ Dari persamaan A dan B tersebut kita akan subtitusikan pada rumus perkalian yang telah ada.

Pembuktian Rumus Sin P + sin Q

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] \\ \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \frac{1}{2}[ \sin P + \sin Q ] \\ 2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \sin P + \sin Q \\ \sin P + \sin Q = 2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q)$

Pembuktian Rumus sin P - sin Q

$\cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] \\ \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P - Q) = \frac{1}{2}[ \sin P - \sin Q ] \\ 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P - Q) = \sin P - \sin Q \\ \sin P - \sin Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q)$

Pembuktian Rumus cos P + cos Q

$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] \\ \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \frac{1}{2}[ \cos P + \cos Q ] \\ 2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \cos P + \cos Q \\ \cos P + \cos Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q)$

Pembuktian Rumus cos P - cos Q

$\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] \\ \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) = -\frac{1}{2}[ \cos P - \cos Q ] \\ -2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) = \cos P - \cos Q \\ \cos P - \cos Q = -2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q)$

Pembuktian Rumus tan P + tan Q
Kita akan menggunakan rumus yang telah didapat sebelumnya :

$\sin (P+Q) = \sin P\cos Q + \cos P \sin Q \,$

$2 \cos P \cos Q = \cos (P+Q) + \cos (P-Q)$

$\tan P + \tan Q = \frac{\sin P}{\cos P} + \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} + \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q + \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin (P+Q) }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P+Q) }{2\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P+Q) }{\cos (P+Q) + \cos (P-Q)} \\ \tan P + \tan Q = \frac{2\sin(P+Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) }$

Pembuktian Rumus tan P - tan Q
Hampir sama dengan cara di atas, kita gunakan rumus sin (P-Q) dan cos (P-Q).

$\sin (P-Q) = \sin P\cos Q - \cos P \sin Q \,$

$2 \cos P \cos Q = \cos (P+Q) + \cos (P-Q)$

$\tan P - \tan Q = \frac{\sin P}{\cos P} - \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} - \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q - \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin (P-Q) }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P-Q) }{2\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P-Q) }{\cos (P+Q) + \cos (P-Q)} \\ \tan P + \tan Q = \frac{2\sin(P-Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) }$

Jika telah mengetahui rumus di atas, anda tidak akan terlalu susah menyelesaikan soal tentang materi ini. Namun, berikut saya tetap berikan beberapa contoh soal.

Soal 1.

$\cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ$
Pembahasan:
Nilai

$\cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ$

$\begin{align} \cos P + \cos Q & = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) \\ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ & = 2 \cos \frac{1}{2}(105^\circ+ 15 ^\circ) \cos \frac{1}{2}(105^\circ-15 ^\circ) \\ & = 2 \cos (60 ^\circ) \cos (45 ^\circ) \\ & = 2 .\frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, nilai

$\cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}$

Soal 2.

$\sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ$
Pembahasan:

$\sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ$
Kita akan mempergunakan terlebih dahulu

$\sin 2 A = 2\sin A \cos A \,$ dan

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A }$ dan juga

$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A$
Selanjutkan baru diselesaikan berdasarkan rumus di atas.

$\begin{align} \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ & = \sin 2 \times 42^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 2 \times 42^\circ \\ & = 2\sin 42^\circ \cos 42^\circ . \frac{\sin 42 ^\circ}{\cos 42 ^\circ} + (1 - 2\sin ^2 42^\circ ) \\ & = 2\sin ^2 42^\circ + (1 - 2\sin ^2 42^\circ ) \\ & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai