Sebelumnya kita ambil permisalan: A+B = P dan A-B = Q . Dari permisalan tersebut kita akan dapatkan : $$A = \frac{1}{2}(P+Q) \\ B = \frac{1}{2}(P-Q) $$ Dari persamaan A dan B tersebut kita akan subtitusikan pada rumus perkalian yang telah ada.
Pembuktian Rumus Sin P + sin Q
$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) + \sin (A- B) ] \\ \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \frac{1}{2}[ \sin P + \sin Q ] \\ 2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \sin P + \sin Q \\ \sin P + \sin Q = 2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) $
Pembuktian Rumus sin P - sin Q
$ \cos A \sin B = \frac{1}{2}[ \sin (A+B) - \sin (A- B) ] \\ \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P - Q) = \frac{1}{2}[ \sin P - \sin Q ] \\ 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P - Q) = \sin P - \sin Q \\ \sin P - \sin Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) $
$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[ \cos (A+B) + \cos (A- B) ] \\ \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \frac{1}{2}[ \cos P + \cos Q ] \\ 2\cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) = \cos P + \cos Q \\ \cos P + \cos Q = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) $
Pembuktian Rumus cos P - cos Q
$ \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[ \cos (A+B) - \cos (A- B) ] \\ \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) = -\frac{1}{2}[ \cos P - \cos Q ] \\ -2\sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) = \cos P - \cos Q \\ \cos P - \cos Q = -2 \sin \frac{1}{2}(P+Q) \sin \frac{1}{2}(P-Q) $
Pembuktian Rumus tan P + tan Q
Kita akan menggunakan rumus yang telah didapat sebelumnya :
$ \sin (P+Q) = \sin P\cos Q + \cos P \sin Q \, $
$ 2 \cos P \cos Q = \cos (P+Q) + \cos (P-Q) $
$\tan P + \tan Q = \frac{\sin P}{\cos P} + \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} + \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q + \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin (P+Q) }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P+Q) }{2\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P+Q) }{\cos (P+Q) + \cos (P-Q)} \\ \tan P + \tan Q = \frac{2\sin(P+Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } $
Pembuktian Rumus tan P - tan Q
Hampir sama dengan cara di atas, kita gunakan rumus sin (P-Q) dan cos (P-Q).
$ \sin (P-Q) = \sin P\cos Q - \cos P \sin Q \, $
$ 2 \cos P \cos Q = \cos (P+Q) + \cos (P-Q) $
$\tan P - \tan Q = \frac{\sin P}{\cos P} - \frac{\sin Q}{\cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q}{\cos P \cos Q} - \frac{\cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin P\cos Q - \cos P \sin Q }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{\sin (P-Q) }{\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P-Q) }{2\cos P \cos Q} \\ = \frac{2\sin (P-Q) }{\cos (P+Q) + \cos (P-Q)} \\ \tan P + \tan Q = \frac{2\sin(P-Q)}{\cos (P+Q) + \cos (P-Q) } $
Jika telah mengetahui rumus di atas, anda tidak akan terlalu susah menyelesaikan soal tentang materi ini. Namun, berikut saya tetap berikan beberapa contoh soal.
Soal 1. $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ $
Pembahasan:
Nilai $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ $
$\begin{align} \cos P + \cos Q & = 2 \cos \frac{1}{2}(P+Q) \cos \frac{1}{2}(P-Q) \\ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ & = 2 \cos \frac{1}{2}(105^\circ+ 15 ^\circ) \cos \frac{1}{2}(105^\circ-15 ^\circ) \\ & = 2 \cos (60 ^\circ) \cos (45 ^\circ) \\ & = 2 .\frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, nilai $ \cos 105^\circ + \cos 15 ^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2} $
Soal 2. $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ $
Pembahasan:
$ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ $
Kita akan mempergunakan terlebih dahulu $ \sin 2 A = 2\sin A \cos A \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A } $ dan juga $ \cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A $
Selanjutkan baru diselesaikan berdasarkan rumus di atas.
$ \begin{align} \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ & = \sin 2 \times 42^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 2 \times 42^\circ \\ & = 2\sin 42^\circ \cos 42^\circ . \frac{\sin 42 ^\circ}{\cos 42 ^\circ} + (1 - 2\sin ^2 42^\circ ) \\ & = 2\sin ^2 42^\circ + (1 - 2\sin ^2 42^\circ ) \\ & = 1 \end{align} $
Jadi, nilai $ \sin 84^\circ \tan 42 ^\circ + \cos 84^\circ = 1 $ .
Jadilah Komentator Pertama untuk "Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri dan Contoh Soal"
Post a Comment