Cara Menentukan Jarak Terdekat Titik ke Grafik dengan Turunan

martha yunanda fungsi, turunan

Berikut adalah salah satu bentuk penggunaan turunan dalam menghitung jarak terdekat suatu titik ke kurva atau grafik. Misalkan ada grafik f(x) dan titik M  (a,b). Maka akan dihitung jarak terdekat titik M ke grafik fungsi f(x).

Dasar penyelesainnya adalah dimana diasumsikan sebuah titik pada f(x), anggap itu titik N (x,y). Berdasarkan rumus jarak antara dua titik pada koordinat, MN bisa dihitung:
$MN= \sqrt {(x-a)^2 + (y-b)^2}$.

Berdasarkan konsep nilai maksimum dan nilai minimum, maka jarak terdekat atau minimum itu terjadi saat $\frac {d(MN}{dx}=0$ atau turunan pertama fungsi dalam MN=0. Mempermudah pemahaman anda perhatikan contoh soal di bawah ini,

Soal: Jarak terdekat titik (6,0) ke kurva y=2$\sqrt x$ adalah...

Pembahasan:
Berdasarkan rumusan di atas kita ketahui,
(a,b)= (6,0)
Asumsikan ada satu titik pada kurva /grafik y=2$\sqrt x$ yakni (x,y).

$MN= \sqrt {(x-a)^2 + (y-b)^2} \\ MN= \sqrt {(x-6)^2 + (y-0)^2}$
Subtitusikan y=2$\sqrt x$
$MN= \sqrt {(x-6)^2 + (2\sqrt x-0)^2} \\  MN = \sqrt { x^2-12x+36 +4x} \\ MN = ( x^2-12x+36 +4x)^  {\frac {1}{2}}$
Sesuai syarat maksimum dan minimum dimana terjadi saat turunan pertama =0 maka,
$\frac {d(MN}{dx}=0 \\  \frac {2x-12+4}{ \sqrt { x^2-12x+36 +4x} } =0 \\ 2x-8 =0 \\ x=4$
Jadi jarak terdekat itu terjadi saat x=4. Silakan disubtitusi ke persamaan:
$MN= \sqrt {(x-6)^2 + (2\sqrt x-0)^2}\\ MN =\sqrt {(4-6)^2 + (2\sqrt 4-0)^2} = 2 \sqrt 5$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn