Soal 1. Buktikan ∞∑n=11n2+n Konvergen!
Pembahasan:
Dalam pertaksamaan berlaku,
0<1n2+n<1n2 , dalam n∈N
Karena
∞∑n=11n2 konvergen maka dapat disimpulkan bahwasanya,
∞∑n=11n2 juga merupakan deret konvergen.
Soal 2. Buktikan ∞∑k=21klnk merupakan deret divergen
Pembahasan:
Pembuktian dilakukan dengan uji integral dalam membuktikan divergen sebuah deret.
Misal f(k)=1klnk kontinu pada interval [2,∞).
Bentuk integralnya bisa ditulis menjadi
∫∞21klnk dk=limb→∞∫b21klnk dk
Kemudian subtitusi u=lnk artinya du=1k dk
∫1klnk dk=∫1u du=lnu
Subtitusi ulang nilai u dan didapatkan
∫1klnk dk=ln(lnk)
Sehingga bisa kita ditulis
limb→∞∫b21klnk dk=limb→∞[ln(lnk)]b2=limb→∞[ln(lnb)−ln(ln2)]=∞
(Bila b diperbesar sampai tak hingga, maka lnb akan menjadi besar menuju tak hingga.
Jadi, deret tersebut terbukti divergen.
Soal 3. Buktikan ∞∑n=1n!nn Konvergen
Pembahasan:
Misalxn=n!nndanxn+1=(n+1)!(n+1)n+1
Artinya
xn+1xn=(n+1)!(n+1)n+1×nnn!
=(n+1)nn(n+1)n(n+1)=nn(n+1)n
=(nn+1)n=1(n+1n)n=1(1+1n)n
Limit Euler ada pada bentuk penyebut yakni
limn→∞(1+1n)n=e
Jadi
limn→∞1(1+1n)n=1e=L
Karena L < 1, sesuai Teorema Uji Rasio,
∞∑n=1n!nn adalah konvergen.
Soal 4. Tunjukan bahwa deret \displaystyle ∑∞k=21k2 konvergen.
Pembahasan:
Akan dilakukan uji integral untuk menunjukkan deret tersebut divergen.
Misal f(k)=1k2 kontinu pada interval[2,∞).
Analisis Integralnya,
∫∞21k2 dk=limb→∞∫b21k2 dk
=limb→∞[−1k]b2
=limb→∞(−1b+12)=12
Sebab nilai limitnya ada maka ∞∑k=21k2 deret tersebut adalah konvergen.
Soal 5. Tunjukkan bahwasanya deret ∞∑n=1n2n konvergen.
Pembahasan:
Akan digunakan uji rasio,
Misal xn=n2ndanxn+1=n+12n+1
Artinya,
xn+1xn=n+12n+1n2n=2n2n+1×n+1n=12(1+1n)
Terlihat bahwasanya
limn→∞12(1+1n)=12=L
Sebab L < 1, sesuai Teorema Uji Rasio, ∞∑n=1n2n adalah deretkonvergen.
Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal dan Pembahasan Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)"
Post a Comment