Processing math: 100%
Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Contoh Soal dan Pembahasan Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)

Di bawah ini terdapat beberapa soal mengenai pembuktian uji konvergensi deret atau dikenal dengan Series Convergence Test. Silakan disimak beberapa contoh soal uji konvergensi deret berikut,
Soal 1. Buktikan n=11n2+n Konvergen!

Pembahasan:
Dalam pertaksamaan berlaku,
0<1n2+n<1n2 , dalam nN
Karena
n=11n2 konvergen maka dapat disimpulkan bahwasanya,
n=11n2 juga merupakan deret konvergen.

Soal 2. Buktikan k=21klnk merupakan deret divergen

Pembahasan:
Pembuktian dilakukan dengan uji integral dalam membuktikan divergen sebuah deret.
Misal f(k)=1klnk kontinu pada interval [2,).

Bentuk integralnya bisa ditulis menjadi
21klnk dk=limbb21klnk dk

Kemudian subtitusi u=lnk artinya du=1k dk
1klnk dk=1u du=lnu

Subtitusi ulang nilai u dan didapatkan
1klnk dk=ln(lnk)

Sehingga bisa kita ditulis
limbb21klnk dk=limb[ln(lnk)]b2=limb[ln(lnb)ln(ln2)]=
(Bila b diperbesar sampai tak hingga, maka lnb akan menjadi besar menuju tak hingga.
Jadi, deret tersebut terbukti divergen.

Soal 3.  Buktikan n=1n!nn Konvergen

Pembahasan:
Misalxn=n!nndanxn+1=(n+1)!(n+1)n+1
Artinya
 xn+1xn=(n+1)!(n+1)n+1×nnn!
=(n+1)nn(n+1)n(n+1)=nn(n+1)n
 =(nn+1)n=1(n+1n)n=1(1+1n)n
Limit Euler ada pada bentuk penyebut yakni
limn(1+1n)n=e
Jadi
limn1(1+1n)n=1e=L
Karena L < 1, sesuai Teorema Uji Rasio,
n=1n!nn adalah konvergen.


Soal 4. Tunjukan bahwa deret \displaystyle k=21k2 konvergen.

Pembahasan:
Akan dilakukan uji integral untuk menunjukkan deret tersebut divergen.
Misal f(k)=1k2 kontinu pada interval[2,).

Analisis Integralnya,
21k2 dk=limbb21k2 dk
=limb[1k]b2
=limb(1b+12)=12
Sebab nilai limitnya ada maka k=21k2 deret tersebut adalah konvergen.

Soal 5. Tunjukkan bahwasanya deret n=1n2n konvergen.

Pembahasan:
Akan digunakan uji rasio,
Misal xn=n2ndanxn+1=n+12n+1
Artinya,
xn+1xn=n+12n+1n2n=2n2n+1×n+1n=12(1+1n)
Terlihat bahwasanya
limn12(1+1n)=12=L
Sebab L < 1, sesuai Teorema Uji Rasio, n=1n2n adalah deretkonvergen.


Related Posts :

Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal dan Pembahasan Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)"

Post a Comment