Contoh Soal dan Pembahasan Uji Konvergensi Deret (Series Convergence Tests)

martha yunanda baris dan deret

Di bawah ini terdapat beberapa soal mengenai pembuktian uji konvergensi deret atau dikenal dengan Series Convergence Test. Silakan disimak beberapa contoh soal uji konvergensi deret berikut,

Soal 1. Buktikan

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+n}$ Konvergen!

Pembahasan:
Dalam pertaksamaan berlaku,

$0 < \dfrac{1}{n^2+n} < \dfrac{1}{n^2}$ , dalam

$n \in \mathbb{N}$
Karena

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$ konvergen maka dapat disimpulkan bahwasanya,

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}$ juga merupakan deret konvergen.

Soal 2. Buktikan

$\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}$ merupakan deret divergen

Pembahasan:
Pembuktian dilakukan dengan uji integral dalam membuktikan divergen sebuah deret.
Misal

$f(k) = \dfrac{1}{k \ln k}$ kontinu pada interval

$[2, \infty)$ .

Bentuk integralnya bisa ditulis menjadi

$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk$

Kemudian subtitusi

$u = \ln k$ artinya

$du = \dfrac{1}{k}~dk$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk= \int \dfrac{1}{u}~du = \ln u$

Subtitusi ulang nilai u dan didapatkan

$\displaystyle \int \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \ln(\ln k)$

Sehingga bisa kita ditulis

$\displaystyle \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k \ln k}~dk = \lim_{b \to \infty} [\ln(\ln k)]_{2}^{b} = \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\right] = \infty$
(Bila b diperbesar sampai tak hingga, maka

$\ln b$ akan menjadi besar menuju tak hingga.
Jadi, deret tersebut terbukti divergen.

Soal 3. Buktikan

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ Konvergen

Pembahasan:
Misal

$x_n = \dfrac{n!}{n^n} dan x_{n+1} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$
Artinya

$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \times \dfrac{n^n}{n!}$

$= \dfrac{(n+1)n^n}{(n+1)^n(n+1)} = \dfrac{n^n}{(n+1)^n}$

$= \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = \dfrac{1}{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n} =\dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n}$
Limit Euler ada pada bentuk penyebut yakni

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n = e$
Jadi

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n} = \dfrac{1}{e} = L$
Karena L < 1, sesuai Teorema Uji Rasio,

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n!}{n^n}$ adalah konvergen.

Soal 4. Tunjukan bahwa deret \displaystyle

$\sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ konvergen.

Pembahasan:
Akan dilakukan uji integral untuk menunjukkan deret tersebut divergen.
Misal

$f(k) = \dfrac{1}{k^2}$ kontinu pada interval

$[2, \infty)$ .

Analisis Integralnya,

$\displaystyle \int_{2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}~dk= \lim_{b \to \infty} \int_{2}^{b} \dfrac{1}{k^2}~dk$

$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{k}\right]_{2}^{b}$

$= \displaystyle \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{2} \right) = \dfrac{1}{2}$
Sebab nilai limitnya ada maka

$\displaystyle \sum_{k = 2}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}$ deret tersebut adalah konvergen.

Soal 5. Tunjukkan bahwasanya deret

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$ konvergen.

Pembahasan:
Akan digunakan uji rasio,
Misal

$x_n = \dfrac{n}{2^n} dan x_{n+1} = \dfrac{n+1}{2^{n+1}}$
Artinya,

$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} = \dfrac{\dfrac{n+1}{2^{n+1}}}{\dfrac{n}{2^n}} = \dfrac{2^n}{2^{n+1}} \times \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)$
Terlihat bahwasanya