Contoh Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi

martha yunanda baris dan deret, contoh soal

Salah satu bentuk pembuktian kebenaran dalam matematika adalah dengan induksi atau dikenal dengan induksi matematika. Dalam pembuktian ini akan dibuktikan  untuk kasu n = 1 (atau sembaran bilangan), n= k yang diasumsikan benar dan n= k+1 yang harus terbukti benar jika pernyataan tersebut bernilai benar.

Untuk saat ini akan dibahas pembuktian suatu persamaan yang habis dibagi dengan menggunakan induksi matematika. Contoh Soal dan Pembahasan habis di bagi dengan menggunakan induksi matematika ini ada dua. Semoga dengan contoh soal berikut bisa membantu pembelajaran matematika.

Contoh Soal dan Pembahasan Habis Dibagi dengan Induksi Matematika

Soal : Buktikan bahwasanya 7ⁿ-2ⁿ habis dibagi 5, n = 1,2,3 ...

Pembuktian :

1) Akan dibuktikan untuk n=1 terlebih dahulu. Jika disubstitusikan n=1 pada persamaan 7ⁿ-2ⁿ akan diperoleh 7¹-2¹ ,hasilnya = 5. Kita tahu 5 habis dibagi 5. Artinya untuk n= 1, benar.

2) Berikutnya untuk n=k, di asumsikan benar. Jadi, 7^k-2^k habis dibagi 5 atau agar lebih mudah bisa ditulis menjadi 7ⁿ-2ⁿ = 5a, a Є bilangan asli. Untuk membuktikan pernyataan tersebut benar, maka akan dibuktikan untuk n=k+1.

3) Sekarang kita lihat untuk n= k+1 :
7ⁿ-2ⁿ = 7^k+1-2^k+1 = 7.7^k-2.2^k . Pada bagian ini gunakan sifat akar, dimana x^n.x^m =x^n+m
Perhatikan, koefesien tebesar adalah 7. Jadi semua dijadika berkoefisien 7.
7.7^k-2^k -5.2^k+5.2^k = 7.7^k-7.2^k -5^k tujuannya agar di dapat sebuah faktor berupa pernyataan ke (2). Dengan melakukan ini,bisa didapat,
7(7^k-2^k )-5.2^k = 7.5a -5.2^k  = 5.(7a-2^k) , karena sudah terbentu 5 x ... maka 7ⁿ-2ⁿ habis dibagi 5. Terbukti.

Contoh Soal ke dua

Buktikan 3ⁿ-+7ⁿ habis dibagi 10, untuk  n ≥1,2,3 , n Є ganjil.

Pembahasan : Untuk soal ini ada sedikit ciri khas. Karena n adalah bilangan ganjil, sementara antara satu bilangan ganjil dengan bilangan ganjil berikutnya berjarak dua ; maka dalam pembuktian digunakan : 1) n=1, 2 ) n= k dan 3) n= k+2. 

1) n =1, 3ⁿ+7ⁿ = 3+7 = 10. Dan 10 habis dibagi 10.
2) n = k, 3^k+7^k habis dibagi 10 = 10 a. Pernyataan ini diasumsikan benr, maka akan dibuktikan pada urutan berikutnya yaitu n= k+2.
3) n = k+2, 3ⁿ+7ⁿ =3^k+2-+7^k+2 = 9.3^k+49.7^k angka koefisien terbesar adalah 49, maka untuk 3^k, juga harus berkoefeisen 49. Jadi persamaan bisa dbentuk menjadi,
9.3^k+49.7^k = 9.3ⁿ-+49.7ⁿ +403^k - 403^k = 493^k  +49.7ⁿ - 403^k = 49.10.a - 403^k = 10. (49a - 4.3^k ) , habis dibagi 10. Terbukti. Terkait Contoh Soal dan Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn