Contoh Soal dan Pembahasan Kombinasi dan Permutasi Berulang

martha yunanda kombinatorika, peluang

Mungkin untuk permutasi berulang tidak begitu asing bagi anda. Namun kombinasi berulang akan sedikit asing bagi anda. Saya akan uraikan mengenai kombinasi berulang dan permutasi berulang pada penjelasan di bawah ini,

Permutasi Berulang

Berapa banyak cara menyusun bilangan 4 angka dari angka 1,2,3,4,5?
Penyelesaian soal di atas cukup sederhana,

Angka pertama ada 5 kemungkinan
Angka kedua juga demikian dan seterusnya hingga angka ke-4

Alhasil untuk total banyak cara 5x5x5x5 = $5^4$.Secara umum,

jika ingin menyusun n objek menjadi k objek yang mana diperbolehkan berulang, maka banyak cara penyusunannya adalah: $n^k$

Kombinasi Berulang

Pada sebuah keranjang ada apel, jeruk, dan mangga. Setiap jenis buah-buahan tersebut sedikitnya berjumlah empat buah. Jika diambil empat buah-buahan dari dalam keranjang, Berapa banyak

cara memilih keempat buah-buahan itu jika urutannya tidak diperhatikan?

Jika dibuat list secara manual, maka banyak kemungkinan tersebut,

4 apel
4 jeruk
4 mangga
3 apel,1 jeruk
3 apel,1 mangga
3 jeruk,1 apel
3 jeruk,1 mangga
3 mangga,1 apel
2 jeruk,1 apel,1 mangga
2 apel,2 jeruk
2 apel,2 mangga
2 apel,1 jeruk,1 mangga
2 jeruk,2 mangga
3 mangga,1 jeruk
2 mangga,1 apel,1 jeruk

Ada 15 banyak cara. Memang ini dalam kasus yang sederhana. Namun jika untuk kasus yang lebih banyak akan membuat anda repot.

Di sana akan digunakan kombinasi berulang. Kenapa?

Pertama dari kalimat soal dimana 'urutan tidak diperhatikan' lalu makna kombinasi pengulangan tersebut adalah "satu jenis buah bisa di ambil lebih dari sekali, sebagai contoh pada kemungkinan 2 apel dan 2 jeruk, dimana buah jenis apel dan jeruk masing masing terambil berulang dua kali."

Untuk mempermudah teknik 'listing' dengan mendaftarkan semua kemungkinan, bisa digunakan rumus kombinasi berulang sebagai berikut,

$_{(n+k−1)}C_k \text { atau } _{(k+n−1)}C_{n−1} $

Kembali perhatikan permasalahan di atas:
ADA 3 JENIS BUAH artinya n=3
AKAN DIAMBIL 4 artinya k = 4
Jadi total kemungkinannya,
$_{(n+k−1)}C_k = _{(3+4−1)}C_4 = _6C_4 =15$

Contoh Soal Kombinasi Berulang:
Soal 1. 12 sosis dibagikan pada 4 orang anak. Berapa banyak cara membagikan 12 sosis tersebut?

Pembahasan:
n= 4 ; k =12
$_{(n+k−1)}C_k = _{(4+12−1)}C_{12} = _{15}C_{12} $
Atau
$_{(k+n−1)}C_{n−1} = _{(12+4−1)}C_{4−1} = _{15}C_{3}$

Soal 2. Sebuah toko Baju menyediakan 4 macam model baju. Berapa banyak cara seorang membeli 6 baju dari toko tersebut!

Pembahasan:
n= 4 ; k =6
$_{(n+k−1)}C_k = _{(4+6−1)}C_6 = _{9}C_{6} $
Atau
$_{(k+n−1)}C_{n−1} = _{(6+4−1)}C_{4−1} = _{9}C_{3}$

Soal 3: Berapa banyak solusi dari persamaan: a+b+c=11
Jika a,b, dan c adalah bilangan bulat positif...

Pembahasan
n=3 ; k =11
$_{(n+k−1)}C_k = _{(11+3−1)}C_{11} = _{13}C_{11} $
Atau
$_{(k+n−1)}C_{n−1} = _{(3+11−1)}C_{3−1} = _{13}C_{2}$

Soal 4: Berapa banyak solusi dari persamaan $x_1+x_2+x_3=11$
jika $x_1$≥1, $x_2$≥2, dan $x_3$≥3

Pembahasan:
Misalkan ada \$y_i$≥0 dimana i=1,2,3 sedemikian sehingga
$x_1=y_1+1$,
$ x_2=y_2+2$,
$x_3=y_3+3$.
Persamaan $x_1+x_2+x_3=11$ dengan x1≥1, x2≥2, dan x3≥3 bisa diubah
$x_1+x_2+x_3=11$
$y_1+1+y_2+2+y_3+3=11 \\ y_1+y_2+y_3=5$
Seperti soal nomer 3,
n=3 ; k=5;
$_{(n+k−1)}C_k = _{(3+5−1)}C_{5} = _{7}C_{5}=21 $
Atau
$_{(k+n−1)}C_{n−1} = _{(5+3−1)}C_{3−1} = _{7}C_{2}=21$
Terakhir untuk mempermudah berikut ringkasan rumus untuk anda