Untuk membuktikan dengan induksi digunakan 3 langkah. Langkah dalam pembuktian induksi ini adalah : 1) buktikan untuk n=1 benar, 2) untuk n=k diasumsikan benar dan dibuktikan 3) n= k+1 juga benar.
Contoh Soal 1 Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika
Buktikan 1+3+5+7+9... +(2n-1) = n2, n ∈ Bilangan Asli.
Bukti :
1) n=1, (2.1-1) = 12, 1=1 (benar).
2) n= k, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2diasumsikan benar.
3) n=k+1, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2
Dari pernyataan di atas, coba perhatikan bagian yang diwarnai merah ini, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2 , Nilainya sama dengan bagian warna biru pada pernyataan ke dua. Oleh sebab itu kita ganti bagian warna merah dengan n2 , sehingga diperoleh:
k2 +(2(k+1) -1) = (k+1)2
k2 +2k+2-1 = (k+1)2
k2 +2k+1 = (k+1)2
(k+1)(k+1)= (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2 (Terbukti)
Bukti :
1) n = 1, maka diperoleh 12 = 1/6 1 (1+1) (2.1+1). 1=1 (terbukti).
2) n = k, 12+ 22+ 32+42...+k2 = 1/6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar.
Bukti :
1) n=1, (2.1-1) = 12, 1=1 (benar).
2) n= k, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)=k2diasumsikan benar.
3) n=k+1, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2
Dari pernyataan di atas, coba perhatikan bagian yang diwarnai merah ini, 1+3+5+7+9+...+(2k-1)+ (2(k+1)-1) = (k+1)2 , Nilainya sama dengan bagian warna biru pada pernyataan ke dua. Oleh sebab itu kita ganti bagian warna merah dengan n2 , sehingga diperoleh:
k2 +(2(k+1) -1) = (k+1)2
k2 +2k+2-1 = (k+1)2
k2 +2k+1 = (k+1)2
(k+1)(k+1)= (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2 (Terbukti)
Contoh Soal 2, Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika
Buktikan : 12+ 22+ 32+42...+n2 = 1/6 n (n+1) (2n+1), n ∈ bilangan asli.
Bukti :
1) n = 1, maka diperoleh 12 = 1/6 1 (1+1) (2.1+1). 1=1 (terbukti).
2) n = k, 12+ 22+ 32+42...+k2 = 1/6 k (k+1) (2k+1), diasumsikan benar.
3) n = k+1, 12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1).
12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)
1/6 k (k+1) (2k+1)+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ...faktorkan (k+1) di kiri.
12+ 22+ 32+42...+k2+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)
1/6 k (k+1) (2k+1)+(k+1)2 = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ...faktorkan (k+1) di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + (k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... samakan penyebut di kiri.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + 6/6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan 1/6 dikiri.
1/6 (k+1) [ k (2k+1) + 6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... selesaikan yang didalam kurung siku.
1/6 (k+1) [ 2k2+7k+6] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan yang di kiri.
1/6 (k+1) [ (k+2)(2k+3) ] =1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... * 2 =1+1,
1/6 (k+1) [ (k+1+1) (2(k+1)+1) ]= 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1). (Terbukti).
Note :
i) Pembuktian hanya boleh dilakukan pada salah satu ruas yang di 'acak acak' , Jangan mengacak ruas kanan dan ruas kiri.
ii) Bentuk Pembuktian lain adalah fungsi yang habis dibagi, untuk pembuktian ini bisa di baca di : Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi.
(k+1) [ 1/6 k (2k+1) + 6/6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan 1/6 dikiri.
1/6 (k+1) [ k (2k+1) + 6(k+1) ] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... selesaikan yang didalam kurung siku.
1/6 (k+1) [ 2k2+7k+6] = 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1)... faktorkan yang di kiri.
1/6 (k+1) [ (k+2)(2k+3) ] =1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1) ... * 2 =1+1,
1/6 (k+1) [ (k+1+1) (2(k+1)+1) ]= 1/6 (k+1) ((k+1)+1) (2(k+1)+1). (Terbukti).
Note :
i) Pembuktian hanya boleh dilakukan pada salah satu ruas yang di 'acak acak' , Jangan mengacak ruas kanan dan ruas kiri.
ii) Bentuk Pembuktian lain adalah fungsi yang habis dibagi, untuk pembuktian ini bisa di baca di : Soal Pembuktian Induksi Matematika habis Dibagi.
kunjungi juga http://mathcyber1997.com (tersedia juga soal induksi mtk)
ReplyDelete