Misalkan anda memiliki dua buah Lingkaran, L1 dan L2, lalu lingkaran tersebut berpotongan di titik A dan B maka persamaan berkas lingkaran yang melewati titik A dan B tersebut bisa ditulis,
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $
atau
$ L_1 + \lambda k = 0 \, $
atau
$ L_2 + \lambda k = 0 $
Catatan:
L1 = Persamaan Lingkaran Pertama
L2= Persamaan Lingkaran Ke-dua
k= garis kuasa antara lingkaran 1 dan lingkaran 2
ƛ = konstanta
Bila dalam perhitungan didapatkan nilai ƛ = -1, maka persamaan berkas lingkaran tersebut akan jadi
$ L_1 - L_2 = 0 \, $
maka ini sama dengan persamaan garis kuasa lingkaran.
Untuk mempermudah pemahaman anda mengenai berkas lingkaran itu sebenarnya apa, perhatikan gambar di bawah ini,
Lingkaran lain yang melalui titik perpotongan dua lingkaranAdapun langkah untuk menentukan persamaan berkas lingkaran ini sebagai berikut,
- Cari Nilai ƛ
- Subtitusikan ƛ tersebut pada Persamaan Berkas dan sederhanakan.
Contoh Soal dan Pembahasan Berkas Lingkaran
Soal 1. Diketahui dua buah lingkaran $ L_1 \equiv \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \\ \text {dan} \\ L_2 \equiv \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $ . Tentukanlah persamaan lingkaran yang melewati titik potong L1 dan L2 dan melalui titik (1,2).Pembahasan:
Langkah 1
Sesuai dengan persamaan berkas Lingkaran maka kita akan dapatkan,
$L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 $
Karena lingkaran melalui titik (1,2) maka kita subtitusikan nilai x=1 dan y=2 ke persamaan di atas.
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ (1^2 + 2^2 + 4.1 - 2.2 - 11) + \lambda (1^2 + 2^2 - 6.1 - 4.2 + 4) = 0 \\ (1 + 4 + 4 - 4 - 11) + \lambda (1 + 4 - 6 - 8 + 4) = 0 \\ (-6) + \lambda (-5) = 0 \\ \lambda = - \frac{6}{5} $
Langkah 2
Anda telah menemukan konstantan untuk ƛ. Nilai ƛ tersebut kita subtitusikan lagi ke persamaan berkas lingkaran. Namun nilai x dan y dibiarkan saja dalam bentuk variabel.
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{6}{5} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ \text{(kalikan dengan 5)} \\ (5x^2 + 5y^2 + 20x - 10y - 55) + (-6) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 + 20x - 10y - 55 -6x^2 -6 y^2 +36x + 24y -24 = 0 \\ -x^2 -y^2 + 56x +14y - 79=0 \\ \text {kalikan dengan -1} \\ x^2 +y^2 - 56x -14y + 79=0$
Jadi persamaan Lingkaran yang melewati titik perpotongan L1 dan L2 dan titik (1,2) atau persamaan berkas lingkarannya adalah: $ x^2 +y^2 - 56x -14y + 79=0$
Soal 2. Diketahui dua buah lingkaran dengan persamaan:
$ L_1 \equiv \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 $
$ L_2 \equiv \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
Tentukan persamaan lingkaran baru yang melalui titik potong L1 dan L2 dan berpusat di (1,1)
Pembahasan:
Langkah 1
silakan disusun sesuai rumus persamaan berkas lingkaran terlebih dahulu.
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} = 0 $
Kenapa ƛ saya kalikan pada persamaan lingkaran ke dua? Sebab disini kita tidak tahu nilai x,y. Yang diketahui hanyalah titik pusat lingkaran ke dua.
Anda harus ingat kembali, jika sebuah lingkaran dengan persamaan umum:
$x^2+y^2+Ax+By+C =0$
maka pusat lingkaran tersebut adalah:
$\left ( -\frac {1}{2}A , -\frac {1}{2}B\right )$
Dari persamaan di atas, saya peroleh persamaan berkas lingkarannya:
$x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} = 0 $
Artinya:
$A = \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ - \frac {1}{2}A = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) $
Nilai dari x pusat diberikan soal $ - \frac {1}{2}A = 1$ Jadi,
$- \frac {1}{2}A = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ 1 = \frac {1}{2} \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) \\ 2 (1+ \lambda) = 4-6 \lambda \\ 2+2 \lambda = 4- 6 \lambda \\ \lambda = \frac {1}{4}$
Anda telah menemukan nilai ƛ. Sekarang lanjutkan,
Langkah 2:
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0$
$(x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \frac {1}{4} (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) = 0 $
Untuk merapikan persamaan di atas semestinya anda bisa melakukannya sendiri. Berlatihlah untuk mengasah ketelitian anda. 😇
Soal 3: Tentukanlah persamaan lingkaran baru dengan pusat yang berada pada garis $x-y=4$ dan melalui titik potong lingkaran:
$L1 \equiv x^2+y^2-2x-2y=34 \\ L2 \equiv x^2+y^2+8x-2y-100=0 $ ?
Pembahasan:
Langkah 1
Susun persamaan lingkaran sesuai rumus persamaan berkas lingkaran:
$L_1 + \lambda L_2 = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} = 0$
Dari persamaan tersebut kita tahu pusatnya yaitu,
$Pusat = \left( -\frac{1}{2}A, - \frac{1}{2}B \right) \\ Pusat = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) \\ Pusat = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
Pusat Lingkaran berada di persamaan garis x-y=4
$x - y = 4 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} -1 = 4 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} = 5 \\ 1 - 4 \lambda = 5(1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda = 5 + 5 \lambda \\ \lambda = - \frac{4}{9} $
Anda telah menemukan nilai ƛ. Berikutnya lanjutkan dengan,
Langkah 2:
Anda subtitusikan nilai ƛ yang diperoleh ke persamaan berkas dan rapikan persamaan tersebut. Selamat berlatih.
jawban nomer 2 salah bro, yang terakhir kurang dikali minus
ReplyDelete