Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

martha yunanda elips dan lingkaran

Untuk menentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran terdapat beberapa tipe bentuk soal. Tipe tersebut dikelompokkan berdasarkan apa yang diketahui dan bentuk persamaan lingkaran yang diketahui. Lebih lengkap berikut klasifikasi garis singgung lingkaran.

1. Persamaan Garis Singgung yang Melalui 1 Titik pada Lingkaran

Pada jenis ini terdapat 3 kemungkinan bentuk persamaan lingkaran yang diketahui. Yakninya,

1a. Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2 $

Ilustrasinya seperti gambar di atas. Rumus untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah,

$ \begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align} $

Buktikan bahwa titik (6, -8) berada lingkaran $x^2 + y^2 = 100$, Lalu defenisikan garis singgungnya

Penyelesaian :
Untuk Membuktikan bahwa titik (6, -8) berada pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 100 $ , substitusi titik tersebut ke persamaan lingkaran.
$\begin{align} (x,y) = (6,-8) \rightarrow x^2 + y^2 & = 100 \\ 6^2 + (-8)^2 & = 100 \\ 36 + 64 & = 100 \\ 100 & = 100 \end{align} $
Ternyata titik tersebut memenuhi persamaan Lingkaran $ x^2 + y^2 = 100 $ .

Untuk Menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melewati titik tersebut, gunakan rumus di atas
$\begin{align} (x_1,y_1) = (6,-8) \rightarrow x_1.x + y_1.y & = 100 \\ 6x +(-8)y & = 100 \\ 6x - 8y & = 100 \, \, \, \, \text{(bagi 2) } \\ 3x - 4y & = 50 \end{align} $
Jadi, Persamaan garis singgung lingkaran dititk tersebut adalah $ 3x - 4y = 50 $

1b.  Persamaan Garis Singgung di Titik P($x_1, y_1$) pada Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $

Ilustrasi gambarnya seperti berikut,

Untuk kondisi seperti ini digunakan rumus

$ \begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) = r^2 \end{align} $

Contoh Soal:
 Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran $ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 58 $ pada titik A(1, -4).

Pembahasan:
Persamaan Garis singgung Lingkaran di titik $(x_1,y_1)=(1,-4) $
$\begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y-b) & = r^2 \\ (x_1+2)(x+2) + (y_1 - 3)(y-3) & = 58 \\ (1+2)(x+2) + (-4 - 3)(y-3) & = 58 \\ 3(x+2) + (-7)(y-3) & = 58 \\ 3x + 6 - 7y + 21 & = 58 \\ 3x - 7y & = 31 \end{align} $
Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $ 3x - 7y = 31 $

1c. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q($x_1, y_1$) pada Lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Jika diketahui kondisi di atas digunakan rumus menentukan persamaan garis singgung lingkaran sebagai berikut,

$ x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $

Contoh Soal:
Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 4y - 11 = 0 $ pada titik A(1, 2).

Pembahasan:
Persamaan garis singgungnya di titik $(x_1,y_1)=(1,2) $
$\begin{align} x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C & = 0 \\ x_1.x + y_1.y -2.\frac{(x_1+x)}{2} + 4.\frac{(y_1+y)}{2} - 11 & = 0 \\ 1.x + 2.y -2.\frac{(1+x)}{2} + 4.\frac{(2+y)}{2} - 11 & = 0 \\ x + 2y -(1+x) + 2(2+y) - 11 & = 0 \\ x + 2y -1 -x + 4 + 2y - 11 & = 0 \\ 4y - 8 & = 0 \\ 4y & = 8 \\ y & = 2 \end{align} $

2. Persamaan Garis Singgung Melewati sebuah Titik di Luar Lingkaran

Ilustrasi dari permasalah yang dimaksud sebagai berikut,

Terdapat 2 Cara untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melewati sebuah titik di luar lingkaran.

2a. Dengan Persamaan Garis

Langkah untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melewati titik A($x_1,y_1$) yang berada di luar lingkaran adalah,

1. Misal persamaan garis singgung y=mx+c
2. Subtitusi titik A ke persamaan garis tersebut sehingga diperoleh nilai $c = y_1-mx_1$
3. Kembali subtitusi $c = y_1-mx_1$ ke persamaan y=mx+c
4. Persamaan langkah ke-3 subtitusi ke persamaan lingkaran.
5. Akan didapat persamaan kuadrat, karena garis menyinggung lingkaran maka berlaku D=0. Hitung nilai m serta nilai c sesuai persamaan langkah 2
6. Sudah ada nilai c dan m anda telah mendapatkan persamaan garis singgung yang dimaksud.

Lebih jelas, perhatikan contoh soal berikut,

Tentukanlah persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) yang berada di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ !

Pembahasan:
Titik (7, 1) berada di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ sebab jika titik (7, 1) disubstitusikan ke persamaan lingkaran tersebut diperoleh $ 7^2+1^2 = 49 + 1 = 50 > 25 $ .

Langkah 1
Misalkan persamaan garis singgungnya : $ y = mx + c $

Langkah 2
Titik (7,1) dilalui oleh garis singgung, sehingga bisa disubstitusi ke garis singgung :
$ \begin{align} (x,y)=(7,1) \rightarrow y & = mx + c \\ 1 & = m . 7 + c \\ c & = 1 - 7m \end{align} $

Langkah 3
Substitusi bentuk $ c = 1 - 7m \, $ ke garis $ y = mx + c $ diperoleh garis singgung baru : $ y = mx + (1-7m) $

Langkah 4
Substitusi garis singgung baru ke lingkaran :
$ \begin{align} y = mx + (1-7m) \rightarrow x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (mx + 1 - 7m)^2 & = 25 \\ x^2 + m^2x^2 -49m^2+1-14m^2x+2mx-14m & = 25 \\ (m^2+1)x^2 +(2m-14m^2)x + (-49m^2-14m-24) & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2m - 14m^2 , \, c & = -49m^2-14m-24 \end{align} $

Langkah 5
Menentukan nilai Diskriminan ($D$) :
$ \begin{align} D & = b^2 - 4ac \\ & = (2m-14m^2)^2 - 4.(m^2+1).(-49m^2-14m-24) \\ & = 4m^2 - 56m^3 + 196m^4 - 4(49m^2 - 14m - 24 + 49m^4 - 14m^3 - 24m^2) \\ & = -96m^2 + 56m + 96 \end{align} $

Syarat garis menyinggung lingkaran : $ D = 0 $
$ \begin{align} D & = 0 \\ -96m^2 + 56m + 96 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi -8)} \\ 12m^2 - 7m - 12 & = 0 \\ (4m + 3)(3m - 4) & = 0 \\ m = - \frac{3}{4} \vee m & = \frac{4}{3} \end{align} $

Langkah 6
Substitusi nilai $ m \, $ ke garis singgung baru :
$ \begin{align} m = - \frac{3}{4} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1-7.(- \frac{3}{4})) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + (1 + \frac{21}{4}) \\ y & = - \frac{3}{4} . x + \frac{25}{4} \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 4y & = -3x + 25 \\ 3x + 4y & = 25 \\ m = \frac{4}{3} \rightarrow y & = mx + (1-7m) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1-7.(\frac{4}{3})) \\ y & = \frac{4}{3} . x + (1 - \frac{28}{3}) \\  y & = \frac{4}{3} . x - \frac{25}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y & = 4x - 25 \\ 4x - 3y & = 25 \end{align} $

Jadi, Persamaan garis singgungnya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $

2b. Menggunakan Koordinat Polar/Kutub

  Bila melalui titik A($x_1, y_1$) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B($x_2, y_2$) dan C($x_3, y_3$), maka persamaan garis BC adalah $x_1.x + y_1.y = r^2$ disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A($x_1, y_1$) disebut titik kutub.
Perhatikan gambar di bawah ini,

Adapun langkah untuk menentukan persamaan garis singgung tersebut sebagai berikut,

1. Tentukan persamaan garis polar pada titik A($x_1, y_1$) 
2. Subtitusi persamaan 1 ke persamaan lingkaran dan defenisikan nilai x
3. Subtitusi nilai x ke persamaan sehingga didapat persamaan garis kutub di titik B dan C
4. Gunakan rumus persamaan lingkaran $ x_1.x + y_1.y + A. \frac{(x_1+x)}{2} + B\frac{(y_1+y)}{2} + C = 0 $

Contoh Soal 

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (7, 1) di luar lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ !

Pembahasan

Langkah 1

Menentukan persamaan garis kutub di titik (7,1) :

$ \begin{align} x_1x + y_1y & = r^2 \\ 7.x + 1.y & = 25 \\ y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7x \end{align} $

Langkah 2

Substitusi $ y = 25 - 7x \, $ ke $ x^2 + y^2 = 25 $

$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (25 - 7x)^2 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 - 350x + 625 & = 25 \\ x^2 + 49x^2 - 350x + 600 & = 0 \\ 50x^2 - 350x + 600 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 50)} \\ x^2 - 7x + 12  & = 0 \\ (x - 3 )(x - 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = 4 \end{align} $

Langkah 3

Menentukan titik singgungnya :

$ \begin{align} x = 3 \rightarrow y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7.3 \\ y & = 4 \\ x = 4 \rightarrow y & = 25 - 7x \\ y & = 25 - 7.4 \\ y & = -3 \end{align} $

Titik singgungnya : (3,4) dan 4,-3) .

Langkah 4

titik $ (x_1,y_1) = (3,4) $

$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 3x + 4y & = 25 \end{align} $

titik $ (x_1,y_1) = (4,-3) $

$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x_1x + y_1y & = 25 \\ 4x -3y & = 25 \end{align} $

Persamaan garis singgungnya adalah $ 3x + 4y = 25 \, $ dan $ 4x - 3y = 25 $

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien m

Untuk kasus dimana mau ditentukan persamaan garis singgung lingkaran sementara diketahui gradien garis tersebut ataupun garis lain yang sejajar ($ m_1 = m_2 $) atau tegak lurus ($ m_1 . m_2 =-1) $ dengan garis tersebut bisa digunakan, rumus,

3a) Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 = r^2 $

Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung dengan gradien $ \sqrt{8} \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 = 16 $ 

Penyelesaian :

Tentukan unsur-unsur lingkaran :

$ x^2 + y^2 = 16, \, $ jari-jari : $ r^2 = 16 \rightarrow r = 4 $

Gunakan Rumus 

$\begin{align} y & = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + (\sqrt{8})^2} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 \sqrt{1 + 8} \\ y & = \sqrt{8}x \pm 4 . 3 \\ y & = \sqrt{8}x \pm 12 \end{align} $

Jadi, PGS nya adalah $ y = \sqrt{8}x + 12 \, $ dan $ y = \sqrt{8}x - 12 $

3b) Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $

Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

Contoh Soal

Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar dengan garis $ y = 2x - 3 \, $ pada lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1 $ !

Penyelesaian :

Unsur-unsur lingkaran :

$ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 1, \, $ jari-jari : $ r^2 = 1 \rightarrow r = 1 $

Pusatnya : $ (a,b) = (2, -1) $

Gradien garis singgungnya

Garis $ y = 2x - 3 \rightarrow m_1 = 2 $

Karena sejajar, maka gradiennya sama, sehingga $ m = 2 $

Gunakan Rumus

$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - (-1) & = 2(x - 2) \pm 1. \sqrt{1 + 2^2} \\ y + 1 & = 2x - 4 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 4 - 1 \pm \sqrt{5} \\ y & = 2x - 5 \pm \sqrt{5} \end{align} $

Jadi, PGS nya adalah $ y = 2x - 5 + \sqrt{5} \, $ dan $ y = 2x - 5 - \sqrt{5} $

3c) Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $ m $ terhadap Lingkaran $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $

Persamaan garis singgungnya : $ \begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align} $

Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus dengan garis $ -3x + 4y - 1 = 0, \, $ pada lingkaran $ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0 $ !

Penyelesaian :

Unsur-unsur lingkaran :

$ x^2 + y^2 + 4x - 2y + 1 = 0, \rightarrow A = 4, B = -2, C = 1 $

Pusatnya : $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2} , - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4}{2} , - \frac{-2}{2} \right) = (-2,1) $

Jari-jari : $ r = \sqrt{a^2 + b^2 - C} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2 $

Gradien garis singgungnya

Garis $ -3x + 4y - 1 = 0 \rightarrow m_1 = -\frac{-3}{4} = \frac{3}{4} $

Karena tegak lurus, maka $ m.m_1 = -1 \rightarrow m . \frac{3}{4} = -1 \rightarrow m = - \frac{4}{3} $

Gunakan Rumus

$\begin{align} y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x - (-2)) \pm 2. \sqrt{1 + (- \frac{4}{3})^2} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}.(x + 2) \pm 2 \sqrt{1 + \frac{16}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 \sqrt{ \frac{25}{9}} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm 2 . \frac{5}{3} \\ y - 1 & = - \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \pm \frac{10}{3} \, \, \, \, \text{(kali 3)} \\ 3y - 3 & = - 4x - 8 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 8 + 3 \pm 10 \\ 3y & = - 4x - 5 \pm 10 \\ \text{(PGS I) } :   3y & = - 4x - 5 + 10 \\ 3y & = -4x + 5 \\ 4x + 3y & = 5 \\ \text{(PGS II) } : 3y & = - 4x - 5 - 10 \\ 3y & = -4x - 15 \\ 4x + 3y & = -15 \end{align} $

PGS nya adalah $ 4x + 3y = 5 \, $ dan $ 4x + 3y = -15 $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn