Menentukan Jarak Titik ke Garis

martha yunanda geometri

Prinsip menghitung atau menentukan jarak dari sebuah titik ke garis cukuplah mudah. Sederhananya, anda buat garis yang melewati titik tersebut hingga memotong garis yang dimaksud (tegak lurus )sehingga bersua titik potong. Jarak titik Awal dan titik potong itulah jaraknya. Atau bisa di gambarkan sebagai berikut,

• (i) Misal akan dihitung jarak titik A ke garis BC.
• Buat garis (hijau) yang memotong tegak lurus BC dan melalui titik A.
• Titik potong adalah titik D, akan dihitung jarak titik A ke garis BC = AD

Dalam perhitungan garis tinggi (AD) pada segitiga ABC yang terbentuk di atas,  mungkin anda bisa menggunakan beberapa metode seperti teorema Phytagoras ataupun aturan cosinus. Agar lebih memahami, silakan diperhatikan contoh soal di bawah ini.

Soal 1:

Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik E ke garis AG?

Pembahasan:

Silakan digambar yang kira kira seperti berikut,

Segitiga yang terbentuk adalah AEG dan yang akan dicari x atau EP sebagai jarak antara titik E ke AG.

Penyelesaian dengan teorema phytagoras,

Misalkan panjang $AP = y , \,$ maka panjang $PG = AG - AP = 8\sqrt{3} - y$

Pada segitiga EAP, $EP^2 = EA^2 - AP^2$

Pada segitiga EGP, $EP^2 = EG^2 - GP^2$

Kedua panjang EP adalah sama, sehingga kita peroleh :

$\begin{align} \text{ (segitiga EAP) } EP^2 & = \text{ (segitiga EGP) } EP^2 \\ EA^2 - AP^2 & = EG^2 - GP^2 \\ 8^2 - y^2 & = (8\sqrt{2})^2 - (8\sqrt{3} - y)^2 \\ 64 - y^2 & = 128 - (192 - 16\sqrt{3}y + y^2) \\ 64 - y^2 & = 128 - 192 + 16\sqrt{3}y - y^2 \\ 64 & = -64 + 16\sqrt{3}y \\ 16\sqrt{3}y & = 128 \\ y & = \frac{128}{16\sqrt{3}} \\ y & = \frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align}$

Menentukan panjang EP :

$\begin{align} EP^2 & = EA^2 - AP^2 \\ & = 8^2 - (\frac{8}{3}\sqrt{3})^2 \\ & = 64 - (\frac{64}{3} ) \\ EP^2 & = \frac{128}{3} \\ EP & = \sqrt{ \frac{128}{3} } = \frac{\sqrt{128}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{8 }{3} \sqrt{6} \end{align}$

Jarak E ke garis AG adalah $\frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \,$ cm

Untuk cara Lain perhatikan Penyelesaian dengan Aturan Cosinus di bawah ini,

Segitiga EAG, kita terapkan aturan cosinus pada sudut A.

$EG^2 = AE^2 + AG^2 - 2 . AE. AG \cos A \rightarrow \cos A = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG}$.

Nilai cos A :

$\begin{align} \cos A & = \frac{AE^2 + AG^2- EG^2}{2 . AE. AG} \\ & = \frac{8^2 + (8\sqrt{3})^2- (8\sqrt{2})^2}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{64 + 192- 128}{2 . 8. (8\sqrt{3})} \\ & = \frac{128}{2 . 8.8\sqrt{3}} \\ & = \frac{1}{ \sqrt{3}} \end{align}$

Nilai sin A ,silakan gunakan identitas trigonometri :

$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A + (\frac{1}{ \sqrt{3}})^2 = 1 \rightarrow \sin ^2 A + \frac{1}{ 3} = 1$

$\rightarrow \sin ^2 A = \frac{2}{ 3} \rightarrow \sin A = \sqrt{\frac{2}{ 3} } = \frac{1}{3}\sqrt{6}$

Panjang EP, perhatikan segitiga EAP :

$\begin{align} \sin A & = \frac{de}{mi} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{EA} \\ \frac{1}{3}\sqrt{6} & = \frac{EP}{8} \\ \frac{8}{3}\sqrt{6} & = EP \end{align}$

Jarak E ke garis AG adalah $\frac{ 8}{3 } \sqrt{6} \,$ cm

Soal 2  Pada limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki rusuk alas  3√2 cm dan rusuk tegaknya 8 cm. Tentukan jarak titik A ke TC?

Jawab:

Jarak A ke garis TC, Gunakan segitiga ATC

Panjang AC pada segitiga ABC :

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2 } = \sqrt{ (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 } = \sqrt{36} = 6$

Lanjutkan dengan menggunakan dalil cosinus. Namun, sebagai opsi lain bisa gunakan prinsip luas segitiga.

Luas segitiga rumus Heron,

Luas segitiga $\, = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \,$ dengan $s = \frac{1}{2}(a+b+c)$.

Segitiga ATC dengan sisi-sisi 6, 8, 8.

$s = \frac{1}{2}(6 + 8 + 8) = \frac{1}{2}(22) = 11$

$\begin{align} \text{Luas ATC } & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ & = \sqrt{11(11-6)(11-8)(11-8)} = \sqrt{11.5.3.3} = 3\sqrt{55} \end{align}$

Luas segitiga ATC versi lain:

$\text{Luas ATC } = \frac{1}{2} a t = \frac{1}{2}.TC . AE = \frac{1}{2}.8 . AE = 4AE$

Samakan Luas dengan versi Heron dan yang kedua

$\begin{align} \text{Luas ATC } & = \text{Luas ATC } \\ \frac{1}{2}.TC . AE & = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ 4AE & = 3\sqrt{55} \\ AE & = \frac{3}{4} \sqrt{55} \end{align}$

Jarak A ke garis TC adalah $\frac{3}{4} \sqrt{55} \,$ cm.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn