Konsep dan Contoh Soal Permutasi dengan Objek yang Sama

Salah satu bentuk pengembangan permutasi adalah mencari banyaknya susunan objek dari beberapa objek yang sama. Kejadian tersebut disebut dengan permutasi berulang atau permutasi dengan beberapa objek yang sama.

Lebih jelasnya, defenisi permutasi berulang tersebut sebagai berikut,
Banyaknya permutasi n objek dimana ada n$_1$ objek tipe 1 yang sama, n$_2$ objek tipe 2 sama, ..., dan n$_k$ objek tipe k yangsama dapat dihitung dengan rumus:

Lebih mudah sebaiknya anda perhatikan bentuk penggunaan permutasi objek yang tidak dapat dibedakan (beberapa objek yang sama) di bawah ini:

Soal 1: Berapa banyak susunan huruf berbeda bisa disusun dari kata SUCCESS?

Pembahasan:
Kata SUCCESS memiliki 3 huruf S, 2 huruf C, 1 huruf U dan 1 huruf E. Perhitungan penyusunan ulang huruf pada kata SUCCESS,
tiga huruf S dapat diletakkan diantara tujuh posisi, yang berarti dapat dilakukan dengan C(7,3) cara. Dua huruf C dapat diantara empat posisi (sisa posisi setelah ditempati tiga huruf S), yang berarti dapat dilakukan dengan C(4,2) cara.
Satu huruf U dapat diletakan diantara dua posisi (sisa posisi setelah ditempati tiga huruf S dan dua huruf C), yang berarti dapat dilakukan dengan C(2,1) cara.
Sedangkan Satu huruf E hanya dapat diletakan pada satu posisi (sisa posisi setelah ditempati tiga huruf S, dua huruf C dan satu huruf U), yang berarti dapat dilakukan dengan C(1,1) cara. Berdasarkan aturan perkalian, banyak susunan huruf lain yang berbeda bisa dibuat adalah,
C(7,3)C(4,2)C(2,1)C(1,1)=420

Atau jika menggunakan rumus di atas bisa dihitung dengan cepat,
$ n =7 \text {semua huruf } \\ n_1 = 3 \text {huruf S} \\ n_2 = 2 \text {huruf C}\\ n_3= 1 \text {huruf U} \\ n_4 = 1 \text {huruf E}$
Sehingga:
$ \text {banyak cara= } \frac {7!}{3! 2! 1! 1!} = 420$

Soal 2:
Berapa banyak susunan huruf berbeda dapat dibuat dari kata SUCCESS jika
a). string diawalai oleh huruf S?
b). string diakhiri oleh hurus C?
c). string diawali oleh huruf S dan diakhiri oleh huruf C?
d). dua huruf C selalu berdekatan satu sama lain?

Jawab:
Terdapat tujuh huruf pada kata SUCCESS : tiga huruf S, dua huruf C, satu huruf U, dan satu huruf E.

a) . Jika diawali oleh huruf S, maka sisa enam posisi berbeda yang akan diisi oleh dua huruf S, dua huruf C, satu huruf U, dan satu huruf E. Sehingga banyaknya cara adalah
$ \text {banyak cara= } \frac {6!}{2! 2! 1! 1!}$

b) Jika diakhiri oleh hurus C, maka ada enam posisi berbeda yang akan diisi oleh tiga huruf S, satu huruf C, satu huruf U, dan satu huruf E. Sehingga banyaknya cara adalah
$ \text {banyak cara= } \frac {6!}{3! 1! 1! 1!}$

c) Jika dua huruf C selalu berdekatan satu sama lain, maka dua huruf C dianggap satu huruf. Ada enam posisi berbeda yang akan diisi oleh tiga huruf S, huruf C yang dianggap satu, satu huruf U, dan satu huruf E. Sehingga banyaknya cara ada
$ \text {banyak cara } = \frac{6!}{3!1!1!1!}=120 $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn