Distribusi Objek Kelompok, Partisi Terurut dan Partisi tak Terurut

martha yunanda kombinatorika

Distribusi atau pembagian objek memiliki pengertian sebagai berapa banyak cara yang mungkin ketika n objek dibagikan pada k penerima, dimana setiap masing masing penerima menerima lebih dari 1 objek. Mempermudah pemahaman anda, silakan perhatikan kasus di bawah ini,

Kasus 1: Berapa banyak cara membagikan 5 kartu bridge pada 4 pemain dari 52 kartu dalam tumpukan kartu bridge tersebut?

Solusi: Penyelesaian masalah ini akan dilakukan dengan aturan perkalian.
Pemain 1: Cara membagikan 5 kartu C (52,5).
Pemain 2: Sisa kartu 47, akan dibagikan 5 maka C(47,5)
Pemain 3: Sisa kartu 42 akan dibagikan 5 maka C(42,5)
Pemain 4: Sisa kartu 34 akan dibagikan 5 maka C(37,5).
Total Cara:

$\begin{align*} C(52,5)C(47,5)C(42,5)C(37,5) &= \frac{52!}{5!47!}.\frac{47!}{5!42!}.\frac{42!}{5!37!}.\frac{37!}{5!32!}\\ &= \frac{52!}{5!5!5!5!32!} \end{align*}$

Partisi Tak Terurut yang dimaksud adalah pada sebuah himpunan. Didefenisikan secara matematis,
Partisi tidak terurut dari himpunan berhingga S didefinisikan sebagai kumpulan

$[A_1,A_2,…A_k]$ dimana

$A_1,A_2,…A_k$ adalah himpunan bagian dari S yang saling lepas.

Sementara itu pengertian Partisi terurut adalah,
partisi terurut dari himpunan berhingga S terjadi jika urutan

$A_1,A_2,…A_k$ diperhatikan.
Contoh:
Misal S={1,2,3,4,5,6,7}, kumpulan
P=[{1,2},{3,4,5},{6,7}] dan
Q=[{6,7},{3,4,5},{1,2}]
adalah partisi dari S yang sama tetapi merupakan partisi terurut yang berbeda.

Lebih memantapkan pemahaman anda, perhatikan contoh kasus di bawah ini,

Kasus 2: Berapa banyak cara 12 mahasiswa dibagi dalam tiga kelompok yang masing - masing kelompok terdiri atas 4 mahasiswa jika
a. satu grup belajar sejarah, satu grup belajar matematika, dan satu grup belajar fisika?
b. semua grup belajar matematika?

a. Karena masing - masing grup mempelajari subjek yang berbeda, artiinya akan dicari banyaknya partisi terurut himpunan S dengan 12 elemen yang terdiri dari himpunan bagian dengan 4 anggota.

$\begin{align*} \frac{12!}{4!4!4!}=34.650 \end{align*}$

b. Jika semua grup mempelajari grup yang sama, artinya urutan tidak dipermasalahkan,anda bisa gunakan cara menyusun partisi tidak terurut.
Permasalahan (i) merupakan permasalahan menyusun partisi - partisi terurut yang masing - masing partisi {G1,G2,G3} dapat disusun dalam 3! cara.
permasalahan (ii), banyaknya cara pada permasalahan (i) harus dibagi banyaknya cara menyusun masing - masing partisi {G1,G2,G3}.dapat ditulis,