Rumus dan Contoh Soal Anuitas

martha yunanda anuitas, Ilmu

Pengertian dan arti dari anuitas adalah sejumlah pembayaran yang harus dibayarkan dimana jumlahnya sama saat dibayarkan dalam periode waktu tertentu. Secara umum anuitas dapat dirumuskan,

$A=a_n+b_n$

A= Anuitas
$a_n$= angsuran
$b_n$= bunga

Ilustrasi mudahnya seperti anda berhutang di bank. Normalnya ketika periode pembayaran semakin lama maka angsuran semakin besar dan nilai bunga makin kecil.

Rumus Angsuran ke-n pada Anuitas

Apabila suatu pinjaman sejumlah M dibayarkan lunas dengan sistem anuitas tahunan (asumsi n ) tahun dan bunga i % p.a (pertahun) maka tiap anuitas memenuhi,

$ \begin{align} A_{n+1} & = A_n \\ a_{n+1} + b_{n+1} & = a_n + b_n \\ a_{n+1} & = a_n + b_n - b_{n+1} \\ a_{n+1} & = a_n + (b_n - b_{n+1} ) \\ a_{n+1} & = a_n + (a_n.i) \\ a_{n+1} & = a_n( 1 + i) \end{align} $

Artinya dapat dikatakan  rumus menghitung angsuran ke-n- dari anuitas adalah

$ a_n = a_1(1+i)^{n-1} \, $ atau $ a_n = a_k(1+i)^{n-k} $

Catatan:
$a_n = \, $ angsuran ke-n
$a_k = \, $ angsuran ke-k
$a_1 = \, $ angsuran pertama
$i = \, $ suku bunga tiap periode

Sementara untuk menghitung besarnya bunga pertama dapat dihitung dengan menggunakan rumus,

 $ b_1 = M . i $

Contoh Soal dan Pembahasan Angsuran Anuitas

Soal 1. Zainudin meminjam uang di Koperasi Apa Aja dengan sistem anuitas bulanan. Besanya Anuitas adalah Rp 400.000,- Maka hitunglah

• angsuran pertama bila bunga pertama Rp 250.000
• bunga ke-5 bila angsuran ke-5 Rp 315.000

Penyelesaian:

 A = Rp 400.000

Gunakan rumus anuitas:

$ A = a_n + b_n $

Menghitung angsuran pertama ($a_1$) dimana $b_1$ = 250.000:

$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_1 + b_1 \\ a_1 & = A - b_1 \\ & = 400.000 - 250.000 \\ & = 150.000 \end{align} $

Menghitung $b_5$ dinama $a_5$= 315.000

$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_5 + b_5 \\ b_5 & = A - a_5 \\ & = 400.000 - 315.000 \\ & = 85.000 \end{align} $

Soal 2. Saifudin meminjam uang di bank dengan anuitas tahunan. Hitunglah anuitas bila dia membayar angsuran ke-enam dan bunga ke-enam Rp 415.000 dan Rp 85.000!

Pembahasan:

Dari diketahui $a_6 = 415.000 \, $ dan $ b_6 = 85.000 $

$ \begin{align} A & = a_n + b_n \\ A & = a_6 + b_6 \\ & = 415.000 + 85.000 \\ & = 500.000 \end{align} $

Soal 3. Fahrudin meminjam uang di bank Rp 1.000.000. Pembayaran akan dilakukan dengan anuitas bulanan Rp 500.000. Bila suku bunga 3% perbulan, maka hitunglah:

• bunga dan angsuran pertama
• bunga dan angsuran ke-9

Pembahasan:

Dari soal disimpulkan M = 10.000.000, A = 500.000, dan $ i = 3\% = 0,03 $

bunga dan angsuran pertama

Bunga pertama ($b_1$)

$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,03 \\ & = 300.000 \end{align} $

Angsuran pertama ($a_1$)

$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 500.000 - 300.000 \\ & = 200.000 \end{align} $

angsuran dan bunga ke-9

Angsuran ke-9 ($a_9$)

$ \begin{align} a_n & = a_1(1 + i)^{n-1} \\ a_9 & = a_1(1 + 0,03)^{9-1} \\ & = 200.000 \times (1,03)^{8} \\ & = 200.000 \times 1,266770081 \\ & = 253.354,02 \end{align} $

Bunga ke-9 ($b_9$)

$ \begin{align} b_9 & = A - a_9 \\ & = 500.000 - 253.354,02 \\ & = 246.645,98 \end{align} $

Rumus Anuitas (A)

Prinsip untuk Anuitas ini mengunakan deret geometri. Andaikan meminjam uang dengan jumlah M dan akan dilunasi dengan mencicil sejumlah A tiap angsuran. Sementara suku bunga i% perperioda maka Anuitas dapat dihitung dengan rumusan:

Jika disimpulkan akan didapat beberapa hal berikut ini,

Hubungan Angsuran pertama dan Anuitas

$ \begin{align} \frac{A}{a_1} & = \frac{M.i.(a+i)^n}{(1+i)^n - 1 } : \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} \\ \frac{A}{a_1} & = (1+i)^n \\ A & = a_1 (1+i)^n \end{align} $

Rumus untuk Menghitung Anuitas

$ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ a_1 = \frac{M.i}{(1+i)^n - 1} $

Rumus angsuran pertama dan anuitas

$ A = a_1 \times (1+i)^n $

Agar lebih jelas penggunakan rumus di atas, silakan lihat contoh soal dan pembahasan anuitas di bawah ini,

Contoh Soal dan Pembahasan Anuitas

Soal 1. Suatu pinjaman Rp 5.000.000 akan dilunasi dalam waktu 2 tahun. Suku bunga pinjaman tersebut 2%. Hitunglah Anuitas dari pinjaman itu (cicilan tiap bulan).

Jawab:

M = 5.000.000, $ i = 2\% = 0,02 \, $ dan $ n = \, $ 2 tahun = 24 bulan

Anuitas dihitung:

$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{5.000.000 \times 0,02}{1 - (1+0,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{1 - (1,02)^{-24}} \\ & = \frac{100.000}{0,378278512} \\ & = 264.355,49 \end{align} $

Anuitas pinjaman tersebut Rp264.355,49. dengan kata lain cicilan tiap bulan Rp264.355,49.

Soal 2. Jenny meminjam uang di bank dan akan dilunasi dengan cara mencicil tiap bulan. Jumlah pinjaman Jenny Rp 10.000.000 dan akan dilunasi dalam waktu 3 tahun. Jika suku bunga pinjaman 2,5% / bulan. Hitunglah

• anuitas
• bunga dan angsuran pertama

Pembahasan:

M = 10.000.000, $ i = 2,5\% = 0,025 \, $/bulan dan $ n = $ 3 tahun = 36 bulan

Anuitas:

$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,025}{1 - (1+0,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - (1,025)^{-36}} \\ & = \frac{250.000}{1 - 0,411093723}   \\ & = 424.515,77 \end{align} $

Bunga pada angsuran pertama ($b_1$):

$ \begin{align} b_1 & = M . i \\ & = 10.000.000 \times 0,025 \\ & = 250.000 \end{align} $

Angsuran pertama ($a_1$):

$ \begin{align} a_1 & = A - b_1 \\ & = 424.515,77 - 250.000 \\ & = 174.515,77 \end{align} $

Soal 3. Nyonya Gracia membeli rumah seharga Rp 250.000.000. Uang muka rumah tersebut Rp 100.000.000,- Sementara sisa pembayaran akan dicicil dengan anuitas tahunan dalam waktu 10 tahun. Suku bunga 18% per-tahun. Hitunglah:

• Anuitas
• Cicilan tiap Bulan

Pembahasan:

M = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000,

$ i = 18\% = 0,18 \, $/tahun dan $ n = $ 10 tahun

Menghitung Anuitas:

$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{150.000.000 \times 0,18}{1 - (1+0,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{1 - (1,18)^{-10}} \\ & = \frac{27.000.000}{0,808935533}   \\ & = 33.377.196,20 \end{align} $

Artinya cicilan yangharus dibayar Nyonya Gracia tiap bulan Rp33.377.196,20.

Karena tiap bulan harus membayar Rp33.377.196,20. maka cicilan tiap bulannya:

$ Cicilan \ = \frac{ 33.377.196,20}{12} = 2.781.433,02 $

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn