Menghitung Sisa Pinjaman pada Anuitas

martha yunanda anuitas, Ilmu

Proses pembayaran dengan anuitas adalah dengan mencicil. Pembayaran cicilan tersebut pada akhirnya akan lunas. Pada waktu m maka dalam periode pinjaman terdapat sisa pinjaman yang harus dilunasi. Inilah yang akan dibahas, menentukan sisa pinjaman pada anuitas.

Ada beberapa cara dalam menentukan atau menghitung sisa pinjaman pada anuitas ini. Misalkan sisa pinjaman adalah $S_1 ,  \, S_2 ,  \, S_3  .... S_m \, $.

Menghitung Sisa Pinjaman Cara-I

Cara pertama ini sisa pinjaman dihitung berdasarkan besar bunga. Perhitungannya menggunakan,

$ b_1 = i . M \\ b_2 = i . S_1 \\ b_3 = i . S_2 \\  b_4 = i . S_3 \\ hingga \\ b_{m+1} = i . S_m $

Sehingga: $ \begin{align} S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \end{align} $

Catatan:

$ s_m = \, $ sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$

$ b_{m+1} = \, $ besarnya bunga ke-$(m+1)$

$ i = \, $ suku bunga anuitas

Rumus yang digunakan:

Anuitas : $ A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \, $ dan $ \, A = a_n + b_n $

Angsuran : $ a_n = a_1(1 + i)^{n-1} $

bunga pertama : $ b_1 = i . M $

Contoh Soal I:

Elisa meminjam uang sebesar Rp10.000.000,00 yang akan dilunasi dengan sistim anuitas bulanan. Jika suku bunga 3%/bulan  dan periodenya 2,5 tahun. Hitunglah:

• Besarnya anuitas!
• Besarnya Sisa pinjaman setelah angsuran 10 bulan!

Penyelesaian:

Dari soal : M = 10.000.000, $ i = 3\% = 0,003 \, $/bulan dan $ n = \, $ 2,5 tahun = 30 bulan.

Menghitung anuitas (A) :

$ \begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,03}{1 - (1+0,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - (1,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - 0,411986759} \\ & = 510.192,59 \end{align} $

Anuitas pinjaman Elisa Rp510.192,59

Sisa pinjaman setelah ansuran 10 bulan ($S_{10}$) :

Rumus $ S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \, $ maka $ s_{10} = \frac{b_{11}}{i} $,  tentukan besarnya $b_{11} $ (bunga periode ke-11).

Menentukan  $ b_{11} \, $ kita butuh nilai $ a_{11} $ (angsuran ke-11) dengan rumus $ b_{11} = A - a_{11} $

Dalam menentukan besar $ a_{11} $ , kita butuh nilai $ a_1 $ dengan rumus $ a_{11} = a_{1} (1 + i)^{10}$.

ketika  menentukan $a_1 $ kita butuh nilai $ b_1 $ dengan rumus $ a_1 = A - b_1 $ dan $ b_1 = i.M $

Perhitungannya:

 Nilai $ b_1 $ :

$ b_1 = i . M = 0,03 \times 10.000.000 = 300.000 $ .

Nilai $ a_1 $ :

$ a_1 = A - b_1 = 510.192,59 - 300.000 = 210.192,59 $

Nilai $ a_{11} $ :

$ a_{11} = a_1(1+i)^{10} = 210.192,59 \times (1 + 0,03)^{10} = 282.481,26 $

Nilai $ b_{11} $

$ b_{11} = A - a_{11} = 510.192,59 - 282.481,26 = 227.711,33 $

Sisa pinjaman ($S_{10}$) :

$ S_{10} = \frac{b_{11}}{i} = \frac{227.711,33}{0,03} = 7.590.377,67 $

Sisa PInjaman setelah angsuran ke-10 adalah Rp7.590.377,67

Menghitung Sisa Pinjaman Cara-2

Sisa pinjaman sesudah membayar anuitas ke-$m$ = pokok pinjaman dikurangi jumlah $m$ angsuran yang telah dibayar.

$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_m) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ...+ a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

Jadi besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dilihat pada daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$.

Bentuk $ (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \, $ bisa juga anda hitung dengan prinsip jumlah pada deret geometri

Perhatikan penyelesaian kasus soal cara I di atas. Akan diselesaikan dengan cara ke-2 ini.

$ \begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 10.000.000 - (210.192,59 + 210.192,59 \times 10,463879311 ) \\ & = 7.590.377,52 \end{align} $
Sisa PInjaman setelah angsuran ke-10 adalah Rp7.590.377,67

Menentukan Sisa Pinjaman Anuitas Cara-3

Sisa pinjaman sesudah pembayaran anuitas ke-$m$ = jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar yaitu dari $ a_{m+1} \, $ sampai angsuran $ a_n $ .

$ \begin{align} S_m & = (a_{m+1} + a_{m+2} + a_{m+3} + ...+ a_n) \\ & = (a_1+a_2 + ...+a_n) - (a_1 + a_2 + ... + a_m) \\ & = (a_1+a_1(1+i) + ...+a_1(1+i)^{n-1}) \\ & \, \, \, \, - (a_1 + a_1(1+i) + ... + a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] ) - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ & = a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \\ & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

Jadi besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align} $

dimana nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \, $ bisa dilihat pada daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(m-1)$ dan dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-1)$

Selesaikan kasus contoh soal di atas dengan cara III

$ \begin{align} S_m & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = a_1(\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = 210.192,59 (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 210.192,59 \times (46,575415706 - 10,463879311) \\ & = 210.192,59 \times 36,111536395 \\ & = 7.590.377,36 \end{align} $

Menentukan Sisa Pinjaman Cara-4

Sisa pinjaman sesudah pembayaran anuitas ke-$m$ = nilai dari semua anuitas yang belum dibayar dihitung pada akhir tahun ke-$m$:

$ \begin{align} S_m & = \frac{A}{(1+i)} + \frac{A}{(1+i)^2} + \frac{A}{(1+i)^3} + ... + \frac{A}{(1+i)^{m-n}} \\ & = A[(1+i)^{-1} +(1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{n-m} ] \\ & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $

Jadi besar pinjaman : $ \begin{align} S_m = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align} $

dengan nilai $ \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \, $ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \, $ baris ke-$(n-m)$ .

Selesaikan kasus contoh soal di atas dengan cara III

$ \begin{align} S_m & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-m)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30 - 10)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(20)} \\ & = 510.192,59 \times 14,877474860 \\ & = 7.590.377,43 \end{align} $

Sisa pinjaman setelah angsuran ke10  adalah Rp7.590.377,43

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn