Defenisi Deret Taylor dan Deret Maclaurin Beserta Contoh
Deret Taylor merupakan bentuk presentatif dari fungsi. Dalam
hal ini deret tersebut merupakan jumlah
tak hingga dari suku pada deret. Untuk menghitungnya digunakan dengan prinsip
turunan pada sebuah titik. Lalu apa itu
deret Maclaurin. Deret Maclaurin adalah bila pada deret Taylor tersebut
berpusat pada titik nol. Jadi bisa disimpulkan bahwasanya deret Maclaurin adalah
bagian deret Taylor, dengan kata lain, deret Taylor yang berpusat di nol
disebut dengan deret Maclaurin.
Bentuk umum deret Taylor ini bisa ditulis dalam formulasi :
$f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...+\frac {f^{n}(a)}{n!}(x-a)^n$
Penulisan tersebut bisa disederhanakan dalam bentuk notasi
sigma :
$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {f^{n}(a)}{1!}(x-a)^n$
n! Adalah n faktorial. Sementara $f^{n}$ adalah turunan ke-n
dari fungsi. Pada rumusan di atas jikadan hanya jika a=0, maka inilah yang
menjadi deret Maclaurin.
Contoh Penggunaan Deret Taylor
Kegunaan deret Taylor dan deret Maclaurin ini salah satunya dalam
metode numerik. Digunakan dalam perhitungan atau pendekatan nilai fungsi yang
tidak bisa dihitung dengan manual. Berikut beberapa contoh soal dan penggunaan
deret Taylor dan deret Maclaurin.
Contoh 1 : $f(x) = e^{x}$. Digunakan pendekatan a= 0.
$f(x) = e^{x}$
... $f(0) = e^{0} = 1$
$f' (x) = e^{x}$ ... $f'
(0) = e^{0} = 1$
$f'' (x) = e^{x}$ ... $f''(0) = e^{0}= 1$
$f'''(x) = e^{x}$ ... $f''' (0) = e^{0}=1$
$f^{n}(x) = e^{x}$ ... $f^{n}(0) = e^{0}=1$
Dengan demikian bisa ditulis menurut formulasi di atas :
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+...+\frac
{f^{n}(0)}{n!}(x-0)^n$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ = $1+\frac{1}{1!}(x-0)+\frac{1}{2!}(x-0)^2+\frac{1}{3!}(x-0)^3+...+\frac
{1}{n!}(x-0)^n$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ =$1+\frac{(x)}{1!}+\frac{(x)^2}{2!}+\frac{(x)^3}{3!}+...+\frac
{(x)^n}{n!}$
$\diamond$$f(x) = e^{x}$ =$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {1}{n!}(x)^n$.
Contoh 2 : f(x) = cos x. Kita gunakan pendekatan a=0.
f(x)=cos x ... f(0) = cos 0 = 1
f’(x)= -sin x ... f’(0)= -sin 0 = 0
f’’(x)= -cos x ... f’’(0)= -cos 0 = -1
f”’(x) = sin x ... f”’(0) = sin 0 = 0.
f””(x)= cos x ... f””(0)= cos 0 = 1.
f”’”(x) = sin x ... f””’(0) = sin 0 = 0. dst.
Kita tulis dalam bentuk formulasi umum deret Taylor.
$\triangleright $f(x) = cos x = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+\frac{f''''
(0)}{4!}(x-0)^4+\frac{f''''' (0)}{5!}(x-0)^5+... $.
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+\frac{0}{1!}(x)+\frac{-1}{2!}(x)^2+\frac{0}{3!}(x)^3+\frac{1}{4!}(x)^4+\frac{1}{5!}(x)^5+...
$.
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+0+\frac{-1}{2!}(x)^2+0+\frac{1}{4!}(x)^4+0+...
$
$\triangleright $f(x) = cos x = $1+\frac{-1}{2!}(x)^2+\frac{1}{4!}(x)^4+... $
= $\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {-1^{n+1}}{(2n-2)!}(x)^{2n-2}$.
Contoh 3 : f(x) = ln (x+1) dengan pendekatan a=0.
f(x)=ln(x+1) ... f(0)=ln 1 = 0.
f’(x)=$\frac{1}{x+1}$ .... f’(0) $\frac{1}{(1)}$ = 1
f’’(x)=$\frac{-1}{(x+1)^{2}}$ .... f’(0) $\frac{1}{(1)^{2}}$
= -1
f’’’(x)=$\frac{2}{(x+1)^{3}}$ .... f’’(0) $\frac{1}{(1)^{3}}$
= 2 = 2!
f’’’’(x)=$\frac{-6}{(x+1)^{4}}$ .... f”’(0) $\frac{1}{(1)^{4}}$
= -6 =-3!
f’’’’(x)=$\frac{24}{(x+1)^{5}}$ .... f’’”(0) $\frac{1}{(1)^{5}}$
= 24 = 4! Dst.
Selanjutnya disusun dalam bentuk umum deret taylor.
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2+\frac{f'''(0)}{3!}(x-0)^3+\frac{f''''
(0)}{4!}(x-0)^4+\frac{f''''' (0)}{5!}(x-0)^5+... $.
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $0+\frac{1)}{1!}(x)+\frac{-1!}{2!}(x)^2+\frac{2!}{3!}(x)^3+\frac{-3!)}{4!}(x)^4+\frac{4!}{5!}(x)^5+...
$ .
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) = $0+\frac{1)}{1}(x)+\frac{-1}{2}(x)^2+\frac{1}{3!}(x)^3+\frac{-1)}{3}(x)^4+\frac{1}{4}(x)^5+...
$ . ( angka faktorial disederhanakan)
$\blacklozenge $f(x)= ln (x+1) =$\sum_{n=0}^{\infty }$ $\frac {-1^{n+1}}{n}(x)^{n}$.
Knp Angka faktorial disederhanakan?
ReplyDelete