Contoh Aplikasi Matriks dalam Penyelesaian Persamaan Linear

martha yunanda contoh soal, matriks

Pada halaman ini saya akan berikan beberapa contoh soal dan penyelesaian tentang penggunaan matriks untuk menyelesaikan persamaan linear baik 2 variabel ataupun 3 variabel. Semoga soal dan pembahasan matriks di bawah ini bisa membantu.

Namun sebelumnya, pastikan anda telah memahami tentang Invers Matriks, Determinan Matriks.

#Soal 1. Diketahui persamaan linear
2x-3y=p
3x+2y=q

$x= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}}$
nilai a yang memenuhi adalah...
a) -3p+2q b) 2p-3q c) 2p+3q d) 3p-2q e) 3p+2q

Pembahasan:

$\text {x berdasarkan diketahui } \\ x= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} \\ \text {sementara berdasarkan persamaan } \\ x= \frac {D_x}{D} \\ x= \frac {\begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 &2 \end{vmatrix}} \\ \text {selanjutnya disamakan } \\ x=x \\ \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2 \end{vmatrix}} = \frac {\begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 & -3\\ 3 &2 \end{vmatrix}} \\ a= \begin{vmatrix} p & -3\\ q &2 \end{vmatrix} \\ a=2p-3q$

#Soal 2. Persamaan Linear
2x-3y-3=0
4x-y+7=0

$y= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4 & -1 \end{vmatrix}}$ Nilai a yang memenuhi adalah...
a) -26 b) -19 c) -2 d) 2 e) 26

Pembahasan:

$2x-3y-3=0 \rightarrow 2x-3y=3 \\ 4x-y+7=0 \rightarrow 4x-y=-7 \\ y= \frac {\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4& -7 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 4& -1 \end{vmatrix}}= \frac {a}{\begin{vmatrix} 2 &3 \\ 4& -1 \end{vmatrix}} \\ a= \begin{vmatrix} 2 & 3\\ 4& -7 \end{vmatrix} \\ a= 2.-7 -4.3 =-14-12=-26$

#Soal 3. Jika x dan y memenuhi persamaan matriks:

$\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \, \, p \neq q$
Maka nilai x+2y=...
a) -6 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2

Pembahasan:

$\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ \text {misal } \\ A=\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B=A^{-1}C$

$A=\begin{pmatrix} p &q \\ q &p \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B=A^{-1}C \\ B = \frac {1}{p^2-q^2} \begin{pmatrix} p & -q \\ -q &p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ q\end{pmatrix} \\ B= \frac {1}{p^2-q^2} \begin{pmatrix} p^2-q^2 \\ -pq+pq \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x= 1 \,\, y=0 \\ 2x+y = 2.1+0=2$

#Soal 4. Konstanta k yang memenuhi persamaan:

$\begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix}$
Nilai x+y adalah...
a) (2+k)(k+1)
b) (2-k) (k+1)
c) (2-k) (1-k)
d) (k+1)(1-k)
e) (2+k)(1-k)

Pembahasan:

$\begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ \text {misal } \\ A= \begin{pmatrix} k &1 \\ 1 &0 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} x-1 \\ y-1 \end{pmatrix} \\ C= \begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ AB=C \\ A^{-1}AB=A^{-1}C \\ IB=A^{-1}C \\ B= \frac {1}{k.0-1.1} \begin{pmatrix} 0 &-1 \\ -1 &k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ k\end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} -k \\ k^2\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} x-1 \\ y-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -k \\ k^2\end{pmatrix} \\ x-1 =-k \, \, y-1 =k^2 \\ x=-k+1 \,\, y=k^2+1 \\ x+y = -k+1+k^2+1 \\ x+y=k^2-k+2 \\ x+y=(k-2)(k+1)$

#Soal 5. Persamaan Linear
x+2y+3z =14
2x-y+z = 3
-x+y-2z=-5

$z= \frac {a}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }$
a) -30 b) -10 c) 10 d) 20 e) 30

Pembahasan:
Secara persamaan:

$z= \frac {D_z}{D} \\ z= \frac {\begin{vmatrix} 1 &2 &14 \\ 2 &-1 &3 \\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }$

Diketahui soal

$z= \frac {a}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }$

Silakan disamakan:

$z=z \\ \frac {\begin{vmatrix} 1 &2 &14 \\ 2 &-1 &3 \\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} }=\frac {a}{\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &-1 &1 \\ -1 & 1 & -2 \end{vmatrix} } \\ a =\begin{vmatrix} 1 &2 &14 \\ 2 &-1 &3 \\ -1 & 1 & -5 \end{vmatrix}$

Lanjutkan mencari determinan matriks 3x3. Jika belum tahu bagaimana cara mencari determinan matriks 3x3 silakan baca selengkapnya di : Mencari Determinan matriks 3x3.