Sebelum memahami bagaimana penyelesaian soal soal persamaan trigonometri di bawah ini, alangkah baik sekiranya anda telah membaca tentang cara penyelesaian persamaan trigonometri.
Soal 1. Tentukan nilai x yang memenuhi sin 2x - 1/2 =0 pada interval 0 ≤ x ≤ 360o !
Pembahasan:
sin 2x -1/2 =0
sin 2x=1/2
sin 2x = sin 30o
Penyelesaian:f(x) = 2x ; θ =30o
- f(x)= θ +360ok- f(x)= 180o- θ +360ok
-f(x)= θ +360ok
2x=30o + 360ok
k=0
2x=30o + 360o.0
x= 15o
k=1
2x=30o + 360o.1
x= 195o
k=2
2x=30o + 360o.2
Tidak digunakan lagi karena sudah diluar interval.
- f(x)= 180o- θ +360ok
2x= 180o- 30o +360ok
2x= 150o +360ok
k=0
2x= 150o +360o.0
x= 75o
k=1
2x= 150o +360o.1
x= 255o
k=2
2x= 150o +360o.2
Tidak digunakan karena diluar interval.
Jadi nilai x yang memenuhi: {15o , 195o , 75o , 255o}
Tentukan nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan trigonometri berikut untuk interval
Soal 2. Nilai x yang memenuhi $ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 $ dalam interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Pembahasan:
$ \cos x - \frac{1}{2} \sqrt{3} = 0 \rightarrow \cos x = \frac{1}{2} \sqrt{3} \rightarrow \cos x = \cos 30^\circ $
Penyelesaian:
-f(x)= θ +360ok- f(x)= - θ +360ok
f(x) = x ; θ =30o
- f(x)= θ +360ok
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 360^\circ \\ x & = 30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = 30^\circ - 360^\circ \\ & = -330^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 0 \\ & = 30^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = 30^\circ + 360^\circ \\ & = 390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 30^\circ \} $
-f(x)= - θ +360ok
$ \begin{align} f(x) & = -\theta + k \times 360^\circ \\ x & = -30^\circ + k \times 360^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = -30^\circ + (-1) \times 360^\circ \\ & = -30^\circ - 360^\circ \\ & = -390^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = -30^\circ + 0 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 0 \\ & = -30^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = -30^\circ + 1 \times 360^\circ \\ & = -30^\circ + 360^\circ \\ & = 330^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \end{align} $
didapat : $ \{ 330^\circ \} $
Jadi $ x \, $ adalah $ \{ 30^\circ , \, 330^\circ \} $
Soal 3. Nilai x yang memenuhi $ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 $ dalam interval $ 0 \leq x \leq 360^\circ $
Pembahasan:
$ \tan 3x + \sqrt{3} = 0 \rightarrow \tan 3x = - \sqrt{3} \rightarrow \tan 3x = \tan 120^\circ $
f(x) = 3x ; θ =120o
-f(x)= θ +180ok
$ \begin{align} f(x) & = \theta + k \times 180^\circ \\ 3x & = 120^\circ + k \times 180^\circ \, \, \, \, \, \text{(bagi 3)} \\ x & = 40^\circ + k \times 60^\circ \\ k = -1 \rightarrow x & = 40^\circ + (-1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ - 60^\circ \\ & = -20^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \\ k = 0 \rightarrow x & = 40^\circ + 0 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 0 \\ & = 40^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 1 \rightarrow x & = 40^\circ + (1) \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 60^\circ \\ & = 100^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 2 \rightarrow x & = 40^\circ + 2 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 120^\circ \\ & = 160^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 3 \rightarrow x & = 40^\circ + 3 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 180^\circ \\ & = 220^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 4 \rightarrow x & = 40^\circ + 4 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 240^\circ \\ & = 280^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 5 \rightarrow x & = 40^\circ + 5 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 300^\circ \\ & = 340^\circ \, \, \, \, \text{(memenuhi interval)} \\ k = 6 \rightarrow x & = 40^\circ + 6 \times 60^\circ \\ & = 40^\circ + 360^\circ \\ & = 400^\circ \, \, \, \, \text{(tidak memenuhi interval)} \end{align} $
Jadi, nilai $ x \, $ adalah $ \{ 40^\circ , 100^\circ , 160^\circ , 220^\circ , 280^\circ , 340^\circ \} $
Soal 4. Tentukan Semua nilai x untuk $ x \, $ interval $ 0 \leq x \leq 2\pi \, $ yang memenuhi $ 2\cos ^2 x = 3\sin x + 3 $ ?
Pembahasan:
Kita akan ubah jadi satu jenis trigonometri saja, perhatikan.
$ \sin ^2 x + \cos ^2 x = 1 \rightarrow \cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x $
Terbentuk seperti persamaan kuadrat dan kita akan faktorkan.
$ \begin{align} 2\cos ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2( 1 - \sin ^2 x ) & = 3\sin x + 3 \\ 2 - 2 \sin ^2 x & = 3\sin x + 3 \\ 2 \sin ^2 x + 3\sin x + 1 & = 0 \\ (2 \sin x + 1) ( \sin x + 1) & = 0 \\ (2 \sin x 1) = 0 \vee ( \sin x + 1) & = 0 \\ \sin x = - \frac{1}{2} \vee \sin x & = -1 \end{align} $
Masing masingnya bisa anda selesaikan sesuai dengan langkah soal no 1. Sehingga di dapat nantinya nilai $ x \, $ yang memenuhi persamaan $ \{ \frac{7\pi}{6} , \, \frac{7\pi}{6} , \, \frac{11\pi}{6} \} $.
Tips:
Jika soal berbentuk Pilihan Ganda, sebaiknya anda lakukan dengan menguji masing masing pilihan ke persamaan.
Pada soal nomor 4, didapat nilai sin x= -1 dan sin x=-1/2. Jika anda bisa tahu sin berapa saja yang -1 dan -1/2 akan lebih baik. Misalnya sin x=-1. Kita tahu bahwasanya yang -1 adalah $ sin \frac {7 \pi}{6}$. Dan sin yang -1/2 adalah $ \frac {7 \pi}{6} \, , \frac {11 \pi}{6}$
Jadilah Komentator Pertama untuk "Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Trigonometri"
Post a Comment