Defenisi Turunan dan Turunan Implisit

martha yunanda contoh soal, turunan

Sekarang kita bahas mengenai defenisi turunan, rumus perkalian dan pembagian turunan,  turunan rantai dan turunan implisit. Bentuk bahasan kita ini lebih kepada contoh soal dan pembahasan. Mati kita mulai dengan pembahasan pertama.

Defenisi Turunan

Turunan didefeniskan atau didapat dari bentuk limit khusus. Bentuk limit yang dimaksud adalah:

$1) Lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h)-f(x)}{h}\\ 2)Lim_{x\rightarrow 0} \frac {f(x)-f(0)}{x}$.

Contoh Soal defenisi Turunan:

a) Diketahui : $f(x)= \sqrt {2x-1}$. 

Tentukan nilai dari $ Lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h)-f(x)}{h}$

Jawab:

$f(x)= \sqrt {2x-1} \\ f(x+h)= \sqrt {2(x+h)-1} \\  Lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h)-f(x)}{h} =  Lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sqrt {2(x+h)-1})-\sqrt {2x-1}}{h}$

Kita kalikan dengan akar sekawan.

$ Lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h)-f(x)}{h} =  Lim_{h\rightarrow 0} \frac {\sqrt {2(x+h)-1})-\sqrt {2x-1}}{h}. \frac {\sqrt {2(x+h)-1})+\sqrt {2x-1}}{\sqrt {2(x+h)-1})+\sqrt {2x-1}} \\ Lim_{h\rightarrow 0} \frac {2(x+h)-(2x-1)}{h.\sqrt {2(x+h)-1})+\sqrt {2x-1}} \\ Lim_{h\rightarrow 0} \frac {2x+2h-1-2x+1}{h.\sqrt {2(x+h)-1})+\sqrt {2x-1}} \\ Lim_{h\rightarrow 0} \frac {2h}{h.\sqrt {2(x+h)-1})+\sqrt {2x-1}} \\  Lim_{h\rightarrow 0} \frac {2}{\sqrt {2(x+h)-1})+\sqrt {2x-1}} $

Sederhanakan dan substitusikan h=0.

 $Lim_{h\rightarrow 0} \frac {2}{\sqrt {2(x+0)-1})+\sqrt {2x-1}} \\ Lim_{h\rightarrow 0} \frac {2}{\sqrt {2x-1})+\sqrt {2x-1}} \\ Lim_{h\rightarrow 0} \frac {2}{2.\sqrt {2x-1})} \\  Lim_{h\rightarrow 0} \frac {1}{ \sqrt {2x-1})}$ 

b) Jika $f(x)= (2x+1)^3-(x+1)^2$

Tentukan nilai dari:  $Lim_{x\rightarrow 0} \frac {f(x)-f(0)}{x}$

Jawab:

$f(x)= (2x+1)^3-(x+1)^2 \\ f(0) = (2.0+1)^3-(0+1)^2 = 0$

$Lim_{x\rightarrow 0} \frac {f(x)-f(0)}{x}= Lim_{x\rightarrow 0} \frac{(2x+1)^3-(x+1)^2 - 0 }{x} \\ Lim_{x\rightarrow 0} \frac{8x^3+12x^2+6x+1-(x^2+2x+1) - 0 }{x} \\ Lim_{x\rightarrow 0} \frac{8x^3+12x^2+6x+1-x^2-2x+1 }{x} \\  Lim_{x\rightarrow 0} \frac {8x^3+11x^2+4x }{x} \\ Lim_{x\rightarrow 0} \frac {x(8x^2+11x+4) }{x} = 8x^2+11x+4$

Turunan Rantai

Penggunaan turunan rantai sebenarnya untuk fungsi komposisi.

$ f(g(x)) = f'(g(x)).g(x)$

Agar lebih mudah perhatikan contoh di bawah ini

c) $ f(x) = (5x^2-6)^12$

Sebenarnya agar lebih mudah ingat kata kata ini. PANGKAT TURUN 1-TETAP - DALAM TURUN. Perhatikan penyelesaiannya.

$ f'(x)= 12(5x^2-6)^11 (10x)$.

Bisa dililhat, awalnya pangkat diturunkan dan dikurangkan 1, dengan isi kurung tetap. Berikutnya, dikalikan dengan turunan bagian dalamnya (turunan dari $5x^2-6$)

Rumus Turunan untuk Perkalian dan Pembagian

Untuk sebuah fungsi yang memuat perkalian  dan pembagian maka digunakan rumus:

Perkalian

$f(x)= u.v \text {maka} f'(x)=u'v+uv'$

Pembagian:

$f(x)=\frac {u}{v} \text {maka} f'(x)= \frac {u'v-uv'}{v^2}$ Sekarang perhatikan contoh soal di bawah ini:

d) Tentukan turunan pertama dari $f(x)= \left (\frac {2x-3}{x-1}$

Jawab

 $f(x)= \left (\frac {2x-3}{x-1}  \right )^4 \\ f(x)= \frac {(2x-3)^4}{(x-1)^4}$

Misal kan:

$u=(2x-3)^4 \\ u'=4 (2x-3)^3.2) = 8(2x-3)^3 \\ v= (x-1)^4 \\ v'= 4(x-1)^3.1=4(x-1)^3$

Karena fungsi berupa pembagian maka silahkan susun menurut rumus pembagian di atas.

$ f'(x)= \frac {8(2x-3)^3.(x-1)^4-4(x-1)^3.(2x-3)^4}{((x-1)^4)^2} \\ f'(x)=\frac {4(2x-3)^3.(x-1)^3 (2(x-1)-(2x-3))}{(x-1)^8} \\  f'(x)=\frac {4(2x-3)^3 (1)}{(x-1)^5}$

Untuk soal perkalian langkahnya tetap sama, bedanya hanya rumus yang digunakan.

Turunan Implisit

Turunan implisit didapat dari fungsi implisit. Sederhananya fungsi implisit adalah fungsi dimana variabel x dan y berada dalam satu ruas. Sekarang perhatikan contoh fungsi implisit di bawah ini:

$y^3 + xy^2-x^3y-4x^2=19$ 

Dari fungsi di atas bisa diperhatikan jika x dan y berada dalam satu ruas saja. Bagaimana cara menurunkan fungsi implisit tersebut?

Kuncinya setiap y yang diturunkan berilah label y'. Agar memudahkan kita pecah suku di fungsi di atas:

1. $y^3$ turunannya $3y^2.y'$, Turunkan dengan konsep turunan biasa, lalu setiap y yang turun di kasih tanda y'
2. $xy^2$ gunakan aturan perkalian di sini. 

$ u=x \\ u'=1 \\ v=y^2 \\ v'=2y.y' $

Turunannya disususun sesua rumus menjadi,

$1.y^2+x.2y.y'$. Lakukan juga ni pada suku ke (3)

(4)  $4x^2$ turunannya 8x

Kemudian susun semua hasil tersebut jadi

$3y^2.y'+y^2+x.2y.y'+3x^2y+x^3y'+8x = 0$

yang pakai y' di kiri dan yang tidak dikanan sehingga menjadi

$3y^2.y'+x.2y.y'+x^3y'= -y^2-3x^2y'-8x  \\  3y^2.y'+x.2y.y'+x^3y'= -y^2-3x^2y \\ y'(3y^2+x.2y+x^3)=-y^2-3x^2y \\ y'= \frac {-y^2-3x^2y}{3y^2+x.2y+x^3}$

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn