Defenisi Turunan
Turunan didefeniskan atau didapat dari bentuk limit khusus. Bentuk limit yang dimaksud adalah:
1)Limh→0f(x+h)−f(x)h2)Limx→0f(x)−f(0)x.
Contoh Soal defenisi Turunan:
a) Diketahui : f(x)=√2x−1.
Tentukan nilai dari Limh→0f(x+h)−f(x)h
Jawab:
f(x)=√2x−1f(x+h)=√2(x+h)−1Limh→0f(x+h)−f(x)h=Limh→0√2(x+h)−1)−√2x−1h
Kita kalikan dengan akar sekawan.
Limh→0f(x+h)−f(x)h=Limh→0√2(x+h)−1)−√2x−1h.√2(x+h)−1)+√2x−1√2(x+h)−1)+√2x−1Limh→02(x+h)−(2x−1)h.√2(x+h)−1)+√2x−1Limh→02x+2h−1−2x+1h.√2(x+h)−1)+√2x−1Limh→02hh.√2(x+h)−1)+√2x−1Limh→02√2(x+h)−1)+√2x−1
Sederhanakan dan substitusikan h=0.
Limh→02√2(x+0)−1)+√2x−1Limh→02√2x−1)+√2x−1Limh→022.√2x−1)Limh→01√2x−1)
b) Jika f(x)=(2x+1)3−(x+1)2
Tentukan nilai dari: Limx→0f(x)−f(0)x
Jawab:
f(x)=(2x+1)3−(x+1)2f(0)=(2.0+1)3−(0+1)2=0
Limx→0f(x)−f(0)x=Limx→0(2x+1)3−(x+1)2−0xLimx→08x3+12x2+6x+1−(x2+2x+1)−0xLimx→08x3+12x2+6x+1−x2−2x+1xLimx→08x3+11x2+4xxLimx→0x(8x2+11x+4)x=8x2+11x+4
Turunan Rantai
Penggunaan turunan rantai sebenarnya untuk fungsi komposisi.
f(g(x))=f′(g(x)).g(x)
Agar lebih mudah perhatikan contoh di bawah ini
c) f(x)=(5x2−6)12
Sebenarnya agar lebih mudah ingat kata kata ini. PANGKAT TURUN 1-TETAP - DALAM TURUN. Perhatikan penyelesaiannya.
f′(x)=12(5x2−6)11(10x).
Bisa dililhat, awalnya pangkat diturunkan dan dikurangkan 1, dengan isi kurung tetap. Berikutnya, dikalikan dengan turunan bagian dalamnya (turunan dari 5x2−6)
Rumus Turunan untuk Perkalian dan Pembagian
Untuk sebuah fungsi yang memuat perkalian dan pembagian maka digunakan rumus:
Perkalian
f(x)=u.vmakaf′(x)=u′v+uv′
Pembagian:
f(x)=uvmakaf′(x)=u′v−uv′v2 Sekarang perhatikan contoh soal di bawah ini:
d) Tentukan turunan pertama dari f(x)= \left (\frac {2x-3}{x-1}
Jawab
f(x)=(2x−3x−1)4f(x)=(2x−3)4(x−1)4
Misal kan:
u=(2x−3)4u′=4(2x−3)3.2)=8(2x−3)3v=(x−1)4v′=4(x−1)3.1=4(x−1)3
Karena fungsi berupa pembagian maka silahkan susun menurut rumus pembagian di atas.
f′(x)=8(2x−3)3.(x−1)4−4(x−1)3.(2x−3)4((x−1)4)2f′(x)=4(2x−3)3.(x−1)3(2(x−1)−(2x−3))(x−1)8f′(x)=4(2x−3)3(1)(x−1)5
Untuk soal perkalian langkahnya tetap sama, bedanya hanya rumus yang digunakan.
Turunan Implisit
Turunan implisit didapat dari fungsi implisit. Sederhananya fungsi implisit adalah fungsi dimana variabel x dan y berada dalam satu ruas. Sekarang perhatikan contoh fungsi implisit di bawah ini:
y3+xy2−x3y−4x2=19
Dari fungsi di atas bisa diperhatikan jika x dan y berada dalam satu ruas saja. Bagaimana cara menurunkan fungsi implisit tersebut?
Kuncinya setiap y yang diturunkan berilah label y'. Agar memudahkan kita pecah suku di fungsi di atas:
- y3 turunannya 3y2.y′, Turunkan dengan konsep turunan biasa, lalu setiap y yang turun di kasih tanda y'
- xy2 gunakan aturan perkalian di sini.
Turunannya disususun sesua rumus menjadi,
1.y2+x.2y.y′. Lakukan juga ni pada suku ke (3)
(4) 4x2 turunannya 8x
Kemudian susun semua hasil tersebut jadi
3y2.y′+y2+x.2y.y′+3x2y+x3y′+8x=0
yang pakai y' di kiri dan yang tidak dikanan sehingga menjadi
3y2.y′+x.2y.y′+x3y′=−y2−3x2y′−8x3y2.y′+x.2y.y′+x3y′=−y2−3x2yy′(3y2+x.2y+x3)=−y2−3x2yy′=−y2−3x2y3y2+x.2y+x3
Jadilah Komentator Pertama untuk "Defenisi Turunan dan Turunan Implisit"
Post a Comment