Teorema Binomial Diperluas

martha yunanda fungsi pembangkit, kombinatorika

Teorema Binomial Diperluas adalah lanjutan dari Fungsi Pembangkit. Sebaiknya, anda saya sarankan telah membaca mengenai Fungsi Pembangkit pada halaman: Fungsi Pembangkit.
Defenisi Teorema Binomial diperluas adalah:
Misal u adalah bilangan Real dan k bilangan bulat tidak negatif maka koefisien binomial diperluas $(_k^u)$ didefenisikan:
$(_k^u) = \left\{ \begin{array}{lr} \frac{u(u-1)\ldots(u-k+1)}{k!} & jika ~ k \ge 0\\  1& jika ~ k = 0 \end{array} \right.$

Contoh:
Tentukanlah koefisien Binomial diperluas dari:

• $(_3^{-2})$
• $(_3^{\frac{1}{2}})$

Pertaama bisa diketahui:

u=-2

k = 3

Berdasarkan defenisi di atas (gunakan defenis yang pertama karena k  bukan nol)

 $(_3^{-2})=\frac{(-2)(-3)(-4)}{3!}=-4. $

Kedua:

u = 1/2

k=3

dengan cara yang sama:

$ \begin{align*}  (_3^{\frac{1}{2}})&=\frac{(\frac{1}{2})(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!}\\  &=\frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{6}\\  &=\frac{1}{16} \end{align*} $

(*)Pada kasus parameter di atas (u) negatif maka dapat disederhanakan:

$ \begin{align*} (_r^{-n})&=\frac{(-n)(-n-1)\ldots(-n-r+1)}{r!}\\ &=\frac{(-1)^rn(n+1)\ldots(n+r-1)}{r!}\\  &=\frac{(-1)^r(n+r-1)(n+r-2)\ldots n}{r!}\\ &=\frac{(-1)^r(n+r-1)!}{r!(n-1)!}\\ &=(-1)^r(^{n+r-1}_r)\\ &=(-1)^rC(n+r-1,r) \end{align*} $

Teorema 3: Teorema Binomial Diperluas

Misal x dan u adalah bilangan real dan |x|<1 maka :

$\begin{align*} (1+x)^u=\sum_{k=0}^\infty (_k^u)x^k  \end{align*}$

Contoh:

Tentukanlah Fungsi Pembangkit dari $(1+x)^{-n}$!

Solusi:

Teorema 3:

$ \begin{align*} (1+x)^{-n}=\sum_{k=0}^\infty (_k^{-n})x^k  \end{align*}$

Untuk $(_k^{-n})$ bisa dilihat penyelesaiannya seperti (*)

Jadi akhirnya akan diperoleh:

$\begin{align*} (1+x)^{-n}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^kC(n+k-1,k)x^k \end{align*}$

Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa fungsi pembangkit:

Berikutnya: Contoh Aplikasi Penerapan Fungsi Pembangkit.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn