Beriklan di Blog Ini? .
MURAH DAN MUDAH.
Info Lebih Lanjut [ KONTAK KAMI]

Fungsi Pembangkit

Fungsi Pembangkit dalam Matematika

Pada ulasan fungsi pembangkit ini akan direview mengenai konsep fungsi pembangkit. Adapun defenisi fungsi pembangkit sebagai berikut,

Defenisi 1

Fungsi pembangkit dari barisan bilangan real, a1,a2,,ak, adalah deret tak hingga,
G(x)=a0+a1x++akxk+=k=0akxk

dari deret di atas pangkat dari variabel x adalah tanda yang menyatakan  sehingga koefisien dari xn adalah nilai dari barisan ke-n. Untuk sebuah barisan an maka G(x) adalah fungsi pembangkitnya.

Contoh 1:
Tentukan fungsi pembangkit untuk barisan ak  dengan ak=3, dan ak=k+1 dan $a_k =2^k adalah : 
k=03xk,k=0(k+1)xkk=02kxk

Pembahasan: 
Dafat didefenisikan fungsi pembangkit barisan bilangan real berhingga dari pengembangan barisan berhingga a0,a1,...,an  pada barisan tak hinggaa dengan mengatur an+1=0,an+2 ,  dan seterusnya.
Fungsi pembangkit dari barisan tak berhingga an merupakan suku banyak dengan derajat n. Sebab untuk j>n tak ada suku dengan bentuk ajxj, fungsi pembangkit bisa ditulis,
G(x)=ao+a1x+...+anxn

Contoh 2;
Bagaimanakah fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1,0,0,....?

Pembahasan:
Bentuk fungsi pembangkit adalah:
G(x)=1+x+x2+x3+x4+x5 
(1,1,1,1,1,1) mewakili koefisien x0 hingga x5 selanjutnya x6 dan seterusnya koefisiennyaa adalah 0.
Jika diperhatikaan, bentuk fungsi pembangkit di atas seperti deret geometri dengan rasio x. Dengan rumus Sn deret geometri, 
Sn=a(1rn)1r
a=1
r= x
n=5
maka
G(x)=1(1x6)1x=1x61x

Contoh 3:
Tentukan fungsi pembangkit 2,4,1,1,1,1,....

Pembahasan:
G(x)=2+4x+x2+x3...
pecahlah 2+4x menjadi 1+3x+1+x sehingga bentuknya menjadi,
G(x)=1+3x+1+x+x2+x3+...
Sementara bentuk 1+x+x2+x3+... bisa diubah mengunakan Sn deret geometri tak berhingga dengan rasio x. Artinya,
G(x)=1+3x+11x

Sebagai latihan bisakah anda menetukan fungsi pembangkit dari,
  • 1,1,1  dimana |x|<1
  • 1,a,a2,a3... dimana |ax|<1
Jawabannya adalah,
  • G(x)=11x
  • G(x)=11ax
Sederhananya, dari deret yang diberikan, angka pada barisan tersebut jadikan sebagai koefisien x0,x1,x2.... Lalu cari bentuk umum fungsi tersebut.

Teorema I

Misal p(x)=k=0akxk  dan q(x)=k=0bkxk maka,
p(x)+q(x)=k=0(ak+bk)xk
p(x)q(x)=k=0(kj=0ajbkj)xk

Contoh Penggunaan Teorema di atas bisa anda lihat pada contoh soal di bawah ini,
Contoh 1
Tentukan fungsi pembangkit dari 3,1,3,1,3,1...

Jawab:
Fungsi 3,1,3,1,3,1 bisa anda pecah menjadi: 
2,0,2,0,2,0 dan 1,1,1,1,1,1 (jika dijumlahkan ini hasilnya 3,1,3,1,3,1) 

Misalkan 2,0,2,0,2,0 adalah p(x), maka
p(x)=2+0.x1+2x2+0.x3...=2+2x2+2x4+..
ini adalah deret geometri tak berhingga dengan rasio x2 dan a=2. Dengan jumlah deret geometri tak hingga bisa anda tulis,
p(x)=21x2

Misalkan 1,1,1,1...q(x),
q(x)=1+x+x2+x3+...
deret geometri tak hingga dengan a=1 dan rasio x, sehingga jumlahnya:
q(x)=11x

Fungsi Pembangkitnya bisa ditulis,
G(x)=p(x)+q(x)=21x2+11x

Menemukan fungsi pembangkit tidak hanya terbatas pada deret geometri saja, Bisa saja anda harus menggunakan teknik matematika lain, seperti integral ataupun turunan. Perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 2:
Tentukan fungsi pembangkit dari 1,2,3,4,....

Jawab:
G(x)=1+2x+3x2+.4x3+...
Jika langsung menggunakan deret geometri anda tak akan menemukan apa apa.
Perhatikan:
1+2x+3x2+.4x3+... adalah TURUNAN dari
x+x2+x3+x4+...
G(x) = K'(x)
 sekarang permisalkan
K(x)=x+x2+x3+x4+....
Kembali pada K(x)
merupaka deret geometri tak berhingga dengan a=x dan rasio x.
K(x)=x1x
Turunkan (silakan baca turunan fungsi pembagian jika anda tak bisa menurunkan ini)
K(x)=1(1x)2
Karena G(x) = K'(x) maka fungsi pembangkitnya adalah,
G(x)=1(1x)2

Teorema II

Misal ao,a1,a2,a3,... memiliki fungsi pembangkit f(x), maka untuk tiap k bilangan asli,
 0,0,0,0,0k,a0,a1,a2,a3,

Bukti:
Fungsi Pembangkit
0,0,0,0,0k,a0,a1,a2,a3,
adalah:
a0xk+a1xk+1+a2xk+2+a3xk+3+=xk(a0+a1x+a2x2+a3x3+)=xkf(x)
k itu lebih mudah diingat sebagai banyaknya 0.

Contoh 1:
Tentukan fungsi pembangkit 0,1,1,1,1...

Jawab:
k=1 (banyak 0)
Sementara fungsi pembangkit 1,1,1,1.. di atas adalah : 11x
Jadi fungsi pembangkitnya:
G(x)=x1.11x=x1x

Contoh 2: Tentukan fungsi pembangkit 0,0,0,0,3,1,3,1,3,1...

Jawab:
k=4
Fungsi pembangkit 3,1,3,1,3,1 telah anda cari di atas 
21x2+11x

sehingga fungsi pembangkitnya adalah
G(x)=x4.21x2+11x=2x41x2+x41x

Contoh 3:
Tentukan fungsi pembangkit dari 0,0,0,0,0,1,2,3,4...

Jawab:
k=5
Fungsi pembangkit 1,2,3,4,... 1(1x)2
sehingga
G(x)=x5.1(1x)2=x5(1x)2
Lanjutkan Membaca: Teorema Binomial Diperluas.



Related Posts :

Jadilah Komentator Pertama untuk "Fungsi Pembangkit"

Post a Comment