Pada ulasan fungsi pembangkit ini akan direview mengenai konsep fungsi pembangkit. Adapun defenisi fungsi pembangkit sebagai berikut,
Defenisi 1
Fungsi pembangkit dari barisan bilangan real, a1,a2,…,ak,… adalah deret tak hingga,
G(x)=a0+a1x+…+akxk+…=∑∞k=0akxk
dari deret di atas pangkat dari variabel x adalah tanda yang menyatakan sehingga koefisien dari xn adalah nilai dari barisan ke-n. Untuk sebuah barisan an maka G(x) adalah fungsi pembangkitnya.
Contoh 1:
Tentukan fungsi pembangkit untuk barisan ak dengan ak=3, dan ak=k+1 dan $a_k =2^k adalah :
∑∞k=03xk,∑∞k=0(k+1)xk∑∞k=02kxk
Pembahasan:
Dafat didefenisikan fungsi pembangkit barisan bilangan real berhingga dari pengembangan barisan berhingga a0,a1,...,an pada barisan tak hinggaa dengan mengatur an+1=0,an+2 , dan seterusnya.
Fungsi pembangkit dari barisan tak berhingga an merupakan suku banyak dengan derajat n. Sebab untuk j>n tak ada suku dengan bentuk ajxj, fungsi pembangkit bisa ditulis,
G(x)=ao+a1x+...+anxn
Contoh 2;
Bagaimanakah fungsi pembangkit untuk barisan 1,1,1,1,1,1,0,0,....?
Pembahasan:
Bentuk fungsi pembangkit adalah:
G(x)=1+x+x2+x3+x4+x5
(1,1,1,1,1,1) mewakili koefisien x0 hingga x5 selanjutnya x6 dan seterusnya koefisiennyaa adalah 0.
Jika diperhatikaan, bentuk fungsi pembangkit di atas seperti deret geometri dengan rasio x. Dengan rumus Sn deret geometri,
Sn=a(1−rn)1−r
a=1
r= x
n=5
maka
G(x)=1(1−x6)1−x=1−x61−x
Contoh 3:
Tentukan fungsi pembangkit 2,4,1,1,1,1,....
Pembahasan:
G(x)=2+4x+x2+x3...
pecahlah 2+4x menjadi 1+3x+1+x sehingga bentuknya menjadi,
G(x)=1+3x+1+x+x2+x3+...
Sementara bentuk 1+x+x2+x3+... bisa diubah mengunakan Sn deret geometri tak berhingga dengan rasio x. Artinya,
G(x)=1+3x+11−x
Sebagai latihan bisakah anda menetukan fungsi pembangkit dari,
- 1,1,1 dimana |x|<1
- 1,a,a2,a3... dimana |ax|<1
Jawabannya adalah,
- G(x)=11−x
- G(x)=11−ax
Sederhananya, dari deret yang diberikan, angka pada barisan tersebut jadikan sebagai koefisien x0,x1,x2.... Lalu cari bentuk umum fungsi tersebut.
Teorema I
Misal p(x)=∑∞k=0akxk dan q(x)=∑∞k=0bkxk maka,
p(x)+q(x)=∑∞k=0(ak+bk)xk
p(x)q(x)=∑∞k=0(∑kj=0ajbk−j)xk
Contoh Penggunaan Teorema di atas bisa anda lihat pada contoh soal di bawah ini,
Contoh 1
Tentukan fungsi pembangkit dari 3,1,3,1,3,1...
Jawab:
Fungsi 3,1,3,1,3,1 bisa anda pecah menjadi:
2,0,2,0,2,0 dan 1,1,1,1,1,1 (jika dijumlahkan ini hasilnya 3,1,3,1,3,1)
Misalkan 2,0,2,0,2,0 adalah p(x), maka
p(x)=2+0.x1+2x2+0.x3...=2+2x2+2x4+..
ini adalah deret geometri tak berhingga dengan rasio x2 dan a=2. Dengan jumlah deret geometri tak hingga bisa anda tulis,
p(x)=21−x2
Misalkan 1,1,1,1...q(x),
q(x)=1+x+x2+x3+...
deret geometri tak hingga dengan a=1 dan rasio x, sehingga jumlahnya:
q(x)=11−x
Fungsi Pembangkitnya bisa ditulis,
G(x)=p(x)+q(x)=21−x2+11−x
Menemukan fungsi pembangkit tidak hanya terbatas pada deret geometri saja, Bisa saja anda harus menggunakan teknik matematika lain, seperti integral ataupun turunan. Perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 2:
Tentukan fungsi pembangkit dari 1,2,3,4,....
Jawab:
G(x)=1+2x+3x2+.4x3+...
Jika langsung menggunakan deret geometri anda tak akan menemukan apa apa.
Perhatikan:
1+2x+3x2+.4x3+... adalah TURUNAN dari
x+x2+x3+x4+...
G(x) = K'(x)
sekarang permisalkan
K(x)=x+x2+x3+x4+....
Kembali pada K(x)
merupaka deret geometri tak berhingga dengan a=x dan rasio x.
K(x)=x1−x
Turunkan (silakan baca turunan fungsi pembagian jika anda tak bisa menurunkan ini)
K′(x)=1(1−x)2
Karena G(x) = K'(x) maka fungsi pembangkitnya adalah,
G(x)=1(1−x)2
Teorema II
Misal ao,a1,a2,a3,... memiliki fungsi pembangkit f(x), maka untuk tiap k bilangan asli,
0,0,0,0,0⏟k,a0,a1,a2,a3,…
Bukti:
Fungsi Pembangkit
0,0,0,0,0⏟k,a0,a1,a2,a3,…
adalah:
a0xk+a1xk+1+a2xk+2+a3xk+3+…=xk(a0+a1x+a2x2+a3x3+…)=xkf(x)
k itu lebih mudah diingat sebagai banyaknya 0.
Contoh 1:
Tentukan fungsi pembangkit 0,1,1,1,1...
Jawab:
k=1 (banyak 0)
Sementara fungsi pembangkit 1,1,1,1.. di atas adalah : 11−x
Jadi fungsi pembangkitnya:
G(x)=x1.11−x=x1−x
Contoh 2: Tentukan fungsi pembangkit 0,0,0,0,3,1,3,1,3,1...
Jawab:
k=4
Fungsi pembangkit 3,1,3,1,3,1 telah anda cari di atas
21−x2+11−x
sehingga fungsi pembangkitnya adalah
G(x)=x4.21−x2+11−x=2x41−x2+x41−x
Contoh 3:
Tentukan fungsi pembangkit dari 0,0,0,0,0,1,2,3,4...
Jawab:
k=5
Fungsi pembangkit 1,2,3,4,... 1(1−x)2
sehingga
Jadilah Komentator Pertama untuk "Fungsi Pembangkit"
Post a Comment