Ada dua metode dalam melakukan pembuktian kebenaran Dalil Ceva ini. Pertama dengan menggunakan dalil Menelaus dan ke dua dengan menggunakan prinsip luas segitiga.
Bunyi Dalil Ceva:
AD, CF dan BE akan berpotongan disebuah titik jika dan hanya jika:
$\frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $
Sebelumnya, bunyi dalil Ceva tersebut mengikuti kalimat biimplikasi. Ini ditandai dengan adanya katan jika dan hanya jika. Sesuai kaidah logika, maka ini harus dibuktikan secara dua arah. Kita pecah menjadi dua kalimat implikasi, dan dua kalimat implikasi ini harus kita buktikan kebenarannya.
Implikasi 1:
Jika AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik, maka
$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $
Implikasi 2:
Jika AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik,
maka $ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $
Pembuktian Implikasi 1
Perhatikan segitiga di bawah ini,
Perhatikan △BOD dan △COD. Jika alasnya masing masing BD dan CD maka Kedua segitiga tersebut memiliki tinggi yang sama. Misalkan tingginya t1. Luas kedua segitiga tersebut bisa ditulis,
$ L_{BOD} = \frac{1}{2}.BD . t_1 $
$ L_{COD} = \frac{1}{2}.CD . t_1 $
Perhatikan △BAD dan △CAD masing masing alasnya BD dan CD. Kedua segitiga memiliki tinggi yang sama dan misalkan tingginya tersebut t2. Luas kedua segitiga tersebut bisa dinyatakan,
$ L_{BAD} = \frac{1}{2}.BD . t_2 $
$ L_{CAD} = \frac{1}{2}.CD . t_2 $
Sekarang Luas segitiga AOB dan AOC dapat dinyatakan,
$L_{AOB} = L_{BAD} - L_{BOD} \\ L_{AOB} = \frac{1}{2}.BD . t_2 - \frac{1}{2}.BD . t_1 \\ L_{AOB} = \frac{1}{2}.BD . (t_2 - t_1)$
$L_{AOC} = L_{CAD} - L_{COD} \\ L_{AOC} = \frac{1}{2}.CD . t_2 - \frac{1}{2}.CD . t_1 \\ L_{AOC} = \frac{1}{2}.CD . (t_2 - t_1)$
Bandingkan Luas segitiga AOB dan AOC,
Bandingkan Luas segitiga AOB dan AOC,
$ \frac {L_{AOB}}{L_{AOC}} = \frac {\frac{1}{2}.BD . (t_2 - t_1)}{\frac{1}{2}.CD . (t_2 - t_1)} \\ \frac {L_{AOB}}{L_{AOC}} = \frac {BD}{CD}$
Persamaan (i)
Dengan langkah yang sama lakukan ini pada segitiga
AOF , BOF .....
AFC dan CFC...
Anda akan peroleh:
$ \frac{L_{AOC}}{L_{BOC}} =\frac{AF}{FB} $
$ \frac{L_{AOC}}{L_{BOC}} =\frac{AF}{FB} $
Persamaan (ii)
Lanjutkan dengan langkah yang sama juga pada segitiga:
AOE, COE ....
ABE, CBE...
Anda akan peroleh,
$ \frac{L_{BOC}}{L_{AOB}}=\frac{CE}{EA} $
Persamaan (iii)
Lakukan perkalian pada ke-tiga persamaan di atas.
$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = \frac{L_{AOC}}{L_{BOC}} . \frac{L_{AOB}}{L_{AOC}} . \frac{L_{BOC}}{L_{AOB}} = 1 $
Jadi untuk implikasi pertama kita telah berhasil membuktikan,
$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $
Agar pernyataan tersebut sepenuhnya benar maka harus dibuktikan juga bahwasanya implikasi 2 benar.
Pembuktian Implikasi 2
Untuk pembuktian implikasi 2 ini kita akan gunakan dalil Menelaus. Sekarang perhatikan segitiga awal yang saya hapus sisi AB dan sisi AC nya.
GAMBAR I
Berdasarkan Dalil Menelaus, berlaku
$ \frac{DO}{OA}. \frac{AF}{FB}. \frac{BC}{DC} = 1 $
$ \frac{DO}{OA}= \frac{FB}{AF}. \frac{DC}{BC} $
Persamaan (i)
GAMBAR II
Berlaku dalil Menelaus sehingga,
$ \frac{DO}{OA}. \frac{EA}{CE}. \frac{BC}{BD} = 1 $
Persamaan (ii)
Subtitusi Persamaan i ke persamaan ii
$ \frac{FB}{AF}. \frac{DC}{BC}. \frac{EA}{CE}. \frac{BC}{BD} = 1 $
$ \frac{FB}{AF}. \frac{DC}{BC}. \frac{EA}{CE}. \frac{BC}{BD} = 1 $
$ \frac{FB}{AF}.\frac{DC}{BD}.\frac{EA}{CE} = 1 $
$ \frac{AF}{FB}.\frac{BD}{DC}.\frac{CE}{EA} = 1 $
Sekarang anda juga telah berhasil melakukan pembuktian kebenaran implikasi ke-dua. Artinya pernyataan biimplikasi Dalil Ceva tersebut terbukti benar. Berikutnya silakan lanjutkan membaca: Pembuktian Dalil Ceva untuk Sudut (Trigonometri)
Jadilah Komentator Pertama untuk "Pembuktian Dalil Ceva"
Post a Comment