Contoh Soal SBMPTN Sifat Determinan Matriks

martha yunanda contoh soal, matriks

Rumus di atas adalah rumus tentang sifat sifat determinan matriks. Anda harus benar benar memahami rumus di atas untuk menyelesaikan dan memahami soal-soal di bawah ini. Selain itu, anda harus ingat jika : $$A= \begin{pmatrix}  a& b\\  c&d \end{pmatrix} \\ |A| =ad-bc$$ Sementara untuk mencari determinan matriks 3x3, 4x4 anda bisa baca dan lihat materinya di daftar isi blog ini.

Soal 1. Diketahui $$A= \begin{pmatrix}  -1& 50\\ -2&105 \end{pmatrix} \\ |A^3| =...$$
Pembahasan:
Perhatikan sifat (i). A³ = A.A.A. Jadi | A³ | = |A||A||A|. Kita akan cari |A|.
|A| = (-1)(105) -(50)(-2) = -5.
 | A³ |= (-5)(-5)(-5) =-125.

Soal 2. Diketahui matriks $$A= \begin{pmatrix}  1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix} \\ |A+B|^3 =...$$
Pembahasan:
Terlebih dahulu kita car A+B $$A= \begin{pmatrix}  1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix} \\  A+B \\
 \begin{pmatrix}  1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3& 5\\ 3&5 \end{pmatrix} \\ |A+B| = (3)(5)-(3)(5)=0\\|A+B|^3 =0^3=0$$

Soal 3. Diketahui $$P= \begin{pmatrix}  p& q\\ r&s \end{pmatrix} $$ Jika  P^-1 = P^T . Maka ps-qr =...

Pembahasan $$\text {perhatikan sifat (ii) dan (iii)} \\ |P| = ps-qr \\ P^{-1} = \frac {1}{|P|} \, \, ,  |P^T|=|P| \\ P^{-1}= 2.P^T \\  \frac {1}{|P|} = 2|P| \\ |P|^2 = \frac {1}{2} \\ |P| = \sqrt { \frac {1}{2}} \\ ps-qr = \frac {1}{\sqrt 2} = \frac {1}{2} \sqrt 2$$

Soal 4. Matriks B memenuhi  persamaan: $$\begin{pmatrix}  3&1 \\ 3  &2  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  2&5\\ 1  & 3  \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}  2&1 \\ 4  &5 \end{pmatrix} B$$ maka determinan B^-1dari  =....

Pembahasan:
Kita akan buat permisalan dari persamaan yang diketahui. $$P= \begin{pmatrix}  3&1 \\ 3  &2  \end{pmatrix} \rightarrow |P|= 3 \\ Q= \begin{pmatrix}  2&5\\ 1  & 3  \end{pmatrix} \rightarrow |Q|=1 \\R = \begin{pmatrix}  2&1 \\ 4  &5 \end{pmatrix} \rightarrow |R|=6 \\ \text {sesuai sifat (i) berlaku :} \\ |P||Q|=|R|.|B| \\ 3.1=6.|B| \\ |B|=\frac {1}{2} \\ \text {sifat (iii)} \\ |B^{-1}| = \frac {1}{|B|} \\ |B^{-1}| = \frac {1}{ \frac {1}{2}} =2$$

Soal 5. $$C= \begin{pmatrix}  \frac {4}{7}& - \frac {1}{7} \\ - \frac {1}{7}   &\frac {2}{7} \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix}  4& 2 \\ 2   &8 \end{pmatrix} $$ Jika A= C^-1  , maka determinan matriks   A^T.B=...

Pembahasan:
- A= C^-1
  det A= det C^-1
  det A = 1/det C
  det A = 1/ (1/7) = 7
  det A^T=det A =7

-det B = 28
- det (A^T.B) =  det A^Tdet B= det A. det B = 7.28 = 196.

Soal 6. Diketahui matriks $$A= \begin{pmatrix} 1 &1  &2 \\  2&  -1& 1 \end{pmatrix} \\ B^T= \begin{pmatrix} 1 &2  &-1 \\  -1&  1& 2 \end{pmatrix} $$ Jika B^T  adalah transpose dari matriks B dan det (2AB) = k det (AB)^-1 . maka nilai k  yang memenuhi adalah...

Pembahasan: $$ B^T= \begin{pmatrix} 1 &2  &-1 \\  -1&  1& 2 \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\  2 &1 \\ -1  & 2 \end{pmatrix} \\ A.B = \begin{pmatrix} 1 &1  &2 \\  2&  -1& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\  2 &1 \\ -1  & 2 \end{pmatrix} \\ AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1  & -1 \end{pmatrix} \\ detAB= 3 \\ det (2AB)=2.detAB = 2.3 =6 \\ det (AB)^{-1} =\frac {1}{detAB} =\frac {1}{6} \\ det (2AB)=k det(AB)^{-1} \\ 6 = k. \frac {1}{6} \\ k=36$$

Baca juga: Contoh Soal SBMPTN - Penjumlahan, Pengurangan dan Kesamaan Matriks.

Share on Facebook

Share on Twitter

Share on LinkedIn