Contoh Soal SBMPTN Sifat Determinan Matriks

Rumus di atas adalah rumus tentang sifat sifat determinan matriks. Anda harus benar benar memahami rumus di atas untuk menyelesaikan dan memahami soal-soal di bawah ini. Selain itu, anda harus ingat jika :

$A= \begin{pmatrix} a& b\\ c&d \end{pmatrix} \\ |A| =ad-bc$ Sementara untuk mencari determinan matriks 3x3, 4x4 anda bisa baca dan lihat materinya di daftar isi blog ini.

Soal 1. Diketahui

$A= \begin{pmatrix} -1& 50\\ -2&105 \end{pmatrix} \\ |A^3| =...$
Pembahasan:
Perhatikan sifat (i). A³ = A.A.A. Jadi | A³ | = |A||A||A|. Kita akan cari |A|.
|A| = (-1)(105) -(50)(-2) = -5.
| A³ |= (-5)(-5)(-5) =-125.

Soal 2. Diketahui matriks

$A= \begin{pmatrix} 1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix} \\ |A+B|^3 =...$
Pembahasan:
Terlebih dahulu kita car A+B

$A= \begin{pmatrix} 1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix} \\ A+B \\ \begin{pmatrix} 1& 2\\ 3&4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2& 3\\ 0&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3& 5\\ 3&5 \end{pmatrix} \\ |A+B| = (3)(5)-(3)(5)=0\\|A+B|^3 =0^3=0$

Soal 3. Diketahui

$P= \begin{pmatrix} p& q\\ r&s \end{pmatrix}$ Jika P^-1 = P^T . Maka ps-qr =...

Pembahasan

$\text {perhatikan sifat (ii) dan (iii)} \\ |P| = ps-qr \\ P^{-1} = \frac {1}{|P|} \, \, , |P^T|=|P| \\ P^{-1}= 2.P^T \\ \frac {1}{|P|} = 2|P| \\ |P|^2 = \frac {1}{2} \\ |P| = \sqrt { \frac {1}{2}} \\ ps-qr = \frac {1}{\sqrt 2} = \frac {1}{2} \sqrt 2$

Soal 4. Matriks B memenuhi persamaan:

$\begin{pmatrix} 3&1 \\ 3 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&5\\ 1 & 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2&1 \\ 4 &5 \end{pmatrix} B$ maka determinan B^-1dari =....

Pembahasan:
Kita akan buat permisalan dari persamaan yang diketahui.

$P= \begin{pmatrix} 3&1 \\ 3 &2 \end{pmatrix} \rightarrow |P|= 3 \\ Q= \begin{pmatrix} 2&5\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow |Q|=1 \\R = \begin{pmatrix} 2&1 \\ 4 &5 \end{pmatrix} \rightarrow |R|=6 \\ \text {sesuai sifat (i) berlaku :} \\ |P||Q|=|R|.|B| \\ 3.1=6.|B| \\ |B|=\frac {1}{2} \\ \text {sifat (iii)} \\ |B^{-1}| = \frac {1}{|B|} \\ |B^{-1}| = \frac {1}{ \frac {1}{2}} =2$

Soal 5.

$C= \begin{pmatrix} \frac {4}{7}& - \frac {1}{7} \\ - \frac {1}{7} &\frac {2}{7} \end{pmatrix} \\ B= \begin{pmatrix} 4& 2 \\ 2 &8 \end{pmatrix}$ Jika A= C^-1 , maka determinan matriks A^T.B=...

Pembahasan:
- A= C^-1
det A= det C^-1
det A = 1/det C
det A = 1/ (1/7) = 7
det A^T=det A =7

-det B = 28
- det (A^T.B) = det A^Tdet B= det A. det B = 7.28 = 196.

Soal 6. Diketahui matriks

$A= \begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ 2& -1& 1 \end{pmatrix} \\ B^T= \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ -1& 1& 2 \end{pmatrix}$ Jika B^T adalah transpose dari matriks B dan det (2AB) = k det (AB)^-1 . maka nilai k yang memenuhi adalah...

Pembahasan:

$B^T= \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 \\ -1& 1& 2 \end{pmatrix} \\ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 &1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ A.B = \begin{pmatrix} 1 &1 &2 \\ 2& -1& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 &1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \\ AB = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \\ detAB= 3 \\ det (2AB)=2.detAB = 2.3 =6 \\ det (AB)^{-1} =\frac {1}{detAB} =\frac {1}{6} \\ det (2AB)=k det(AB)^{-1} \\ 6 = k. \frac {1}{6} \\ k=36$